2020 AMC 12A 第 10 题

先试着解答 2020 AMC 12A 第 10 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2020 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

存在唯一的正整数

n

满足

\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n)\text{。}

n

的各位数字之和是多少？

There is a unique positive integer

n

such that

\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).

What is the sum of the digits of

n?

4

7

8

11

13

答案：E

知识点：对数换元法

难度评级：1500

小提示：

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n

，所以令

y = \log_4 n

。

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,

so let

y = \log_4 n

大提示：

方程变为

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y

；平方来解出

y

。

The equation becomes

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y;

square to solve for

y

解答：

因为

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n

，令

y = \log_4 n

。方程变为

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y

。

两边乘以

2

得到

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y

，所以

\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y

，从而

y = 4

。

因此

\log_4 n = 4

，所以

n = 4^4 = 256

，各位数字之和为

2 + 5 + 6 = 13

。

因此，正确答案是 E。

Since

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,

set

y = \log_4 n.

The equation becomes

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.

Multiplying by

2

gives

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,

so

\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,

which yields

y = 4.

Then

\log_4 n = 4,

so

n = 4^4 = 256,

and the digit sum is

2 + 5 + 6 = 13.

Thus, E is the correct answer.

其他年份的第 10 题