2019 AMC 12A 第 15 题

先试着解答 2019 AMC 12A 第 15 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2019 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

正实数

a

和

b

满足

\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}

且左边四项都是正整数，其中

\log

表示以

10

为底的对数。

ab

是多少？

Positive real numbers

a

and

b

have the property that

\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}

and all four terms on the left are positive integers, where

\log

denotes the base

10

logarithm. What is

ab?

10^{52}

10^{100}

10^{144}

10^{164}

10^{200}

答案：D

知识点：对数丢番图方程分类讨论

难度评级：1730

小提示：

令

\sqrt{\log a} = p

且

\sqrt{\log b} = q

；则

\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}

必须是整数

Let

\sqrt{\log a} = p

and

\sqrt{\log b} = q;

then

\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}

must be an integer

大提示：

令

p = 2m

，

q = 2n

，方程变为

m(m+1) + n(n+1) = 50

With

p = 2m,

q = 2n,

the equation becomes

m(m+1) + n(n+1) = 50

解答：

令

\sqrt{\log a} = p

且

\sqrt{\log b} = q

，则

\log a = p^2

且

\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}

。要使它为整数，

p

必须为偶数；同理

q

也必须为偶数。

写成

p = 2m

，

q = 2n

，方程

p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100

变为

m(m+1) + n(n+1) = 50

。

唯一解为

\{m, n\} = \{4, 5\}

，因此

\log(ab) = p^2 + q^2

= 4(16 + 25) = 164

。

所以

ab = 10^{164}

。

所以正确答案是 D。

Let

\sqrt{\log a} = p

and

\sqrt{\log b} = q,

so

\log a = p^2

and

\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.

For this to be an integer,

p

is even; likewise

q.

Writing

p = 2m,

q = 2n,

the equation

p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100

becomes

m(m+1) + n(n+1) = 50.

The only solution is

\{m, n\} = \{4, 5\},

giving

\log(ab) = p^2 + q^2

= 4(16 + 25) = 164.

Therefore

ab = 10^{164}.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 15 题