2018 AMC 12B 第 13 题

Question

正方形

ABCD

的边长为

30

。点

P

在正方形内，且

AP=12

、

BP=26

。

\triangle ABP

、

\triangle BCP

、

\triangle CDP

和

\triangle DAP

的重心是一个凸四边形的顶点。该四边形面积是多少？

Square

ABCD

has side length

30.

Point

P

lies inside the square so that

AP=12

and

BP=26.

The centroids of

\triangle ABP,

\triangle BCP,

\triangle CDP,

and

\triangle DAP

are the vertices of a convex quadrilateral. What is the area of that quadrilateral?

100\sqrt{2}

100\sqrt{3}

200

200\sqrt{2}

200\sqrt{3}

答案：C

知识点：重心坐标几何面积

难度评级：1810

小提示：

把这个正方形放入坐标系，并写

P=(3x,3y)

。

Place the square in coordinates and write

P=(3x,3y)

大提示：

每个重心是三个顶点的平均；四个重心形成一个对角线长度为

20

的正方形。

Each centroid averages three vertices; the four centroids form a square whose diagonals have length

20

解答：

取

A=(0,30)

、

B=(0,0)

、

C=(30,0)

、

D=(30,30)

，并令

P=(3x,3y)

。对每组三个顶点的坐标取平均，四个重心为

\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20) \end{gathered}\text{。}

这些点形成一个正方形，一条水平对角线和一条竖直对角线的长度均为

20

。它的面积为

\tfrac12\cdot20\cdot20=200

，与

P

的位置无关。

所以正确答案是 C。

Place

A=(0,30),

B=(0,0),

C=(30,0),

D=(30,30),

and

P=(3x,3y).

Averaging the vertices, the four centroids are

\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}

These form a square whose diagonals, one horizontal and one vertical, each have length

20.

Its area is

\tfrac12\cdot20\cdot20=200,

independent of where

P

lies.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题