Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $30$ 。点 $P$ 在正方形内，且 $AP=12$ 、 $BP=26$ 。 $\triangle ABP$ 、 $\triangle BCP$ 、 $\triangle CDP$ 和 $\triangle DAP$ 的重心是一个凸四边形的顶点。该四边形面积是多少？

Square $ABCD$ has side length $30.$ Point $P$ lies inside the square so that $AP=12$ and $BP=26.$ The centroids of $\triangle ABP,$ $\triangle BCP,$ $\triangle CDP,$ and $\triangle DAP$ are the vertices of a convex quadrilateral. What is the area of that quadrilateral?

$100\sqrt{2}$

$100\sqrt{3}$

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

答案：C

知识点：重心坐标几何面积

难度评级：1810

解答：

取 $A=(0,30)$ 、 $B=(0,0)$ 、 $C=(30,0)$ 、 $D=(30,30)$ ，并令 $P=(3x,3y)$ 。对每组三个顶点的坐标取平均，四个重心为 $\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}$

这些点形成一个正方形，一条水平对角线和一条竖直对角线的长度均为 $20$ 它的面积为 $\tfrac12\cdot20\cdot20=200$ 与 $P$ 的位置无关。

所以正确答案是 C。

Place $A=(0,30),$ $B=(0,0),$ $C=(30,0),$ $D=(30,30),$ and $P=(3x,3y).$ Averaging the vertices, the four centroids are $\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}$

These form a square whose diagonals, one horizontal and one vertical, each have length $20.$ Its area is $\tfrac12\cdot20\cdot20=200,$ independent of where $P$ lies.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1810

解答：

其他年份的第 13 题