2018 AMC 12A 第 10 题

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10.

有多少个实数有序对

(x, y)

满足下面的方程组？

x + 3y = 3

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

How many ordered pairs of real numbers

(x, y)

satisfy the following system of equations?

x + 3y = 3

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

1

2

3

4

8

答案：C

知识点：绝对值方程组分类讨论

难度评级：1560

小提示：

方程

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

表示

|x| - |y| = \pm 1

，可展开为

x = \pm y \pm 1

。

The equation

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

means

|x| - |y| = \pm 1,

which unfolds into

x = \pm y \pm 1

大提示：

分别将

x + 3y = 3

与

x = y + 1

，

x = y - 1

，

x = -y + 1

，

x = -y - 1

，联立求解，再去掉重复解

Solve

x + 3y = 3

together with each of

x = y + 1,

x = y - 1,

x = -y + 1,

x = -y - 1,

then discard repeats

解答：

第二个方程给出

|x| - |y| = \pm 1

，等价于

x = \pm y \pm 1

。代入

x + 3y = 3

：

若

x = y + 1

则

(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right)

。若

x = y - 1

则

(x, y) = (0, 1)

。若

x = -y + 1

，又得到

(x, y) = (0, 1)

。若

x = -y - 1

则

(x, y) = (-3, 2)

。

不同的解是

(-3, 2)

，

(0, 1)

，和

\left(\tfrac32, \tfrac12\right)

，它们都满足原方程，所以共有

3

个。

所以正确答案是 C。

The second equation gives

|x| - |y| = \pm 1,

equivalently

x = \pm y \pm 1.

Substituting into

x + 3y = 3:

If

x = y + 1,

then

(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).

If

x = y - 1,

then

(x, y) = (0, 1).

If

x = -y + 1,

then again

(x, y) = (0, 1).

If

x = -y - 1,

then

(x, y) = (-3, 2).

The distinct solutions are

(-3, 2),

(0, 1),

and

\left(\tfrac32, \tfrac12\right),

all of which check, so there are

3.

Thus, the correct answer is C.

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