Question

四边形 $ABCD$ 内接于圆，且 $\angle BAC = 70^\circ$ ， $\angle ADB = 40^\circ$ ， $AD = 4$ ， $BC = 6$ 。 $AC$ 是多少？

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with $\angle BAC = 70^\circ,$ $\angle ADB = 40^\circ,$ $AD = 4,$ and $BC = 6.$ What is $AC?$

$3 + \sqrt5$

$6$

$\dfrac92\sqrt2$

$8 - \sqrt2$

$7$

角 $BAC$ 和 $BDC$ 截弧 $BC$ ，所以 $\angle BDC = 70^\circ$ 。于是 $\angle ADC = \angle ADB$ $+ \angle BDC = 110^\circ$ 。

因为 $ABCD$ 是圆内接四边形， $\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ $= \angle BAC$ 。因此 $\triangle ABC$ 是等腰三角形， $AC = BC = 6$ 。

因此，正确选项是 B。

Angles $BAC$ and $BDC$ subtend arc $BC,$ so $\angle BDC = 70^\circ.$ Then $\angle ADC = \angle ADB$ $+ \angle BDC = 110^\circ.$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ $= \angle BAC.$ Thus $\triangle ABC$ is isosceles with $AC = BC = 6.$

Thus, the correct answer is B.