2014 AMC 12B 第 15 题

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15.

当

p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k

时，数

e^p

是一个整数。作为

e^p

的因数的最大

2

的幂是多少？

When

p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,

the number

e^p

is an integer. What is the largest power of

2

that is a factor of

e^p?

2^{12}

2^{14}

2^{16}

2^{18}

2^{20}

答案：C

知识点：对数质因数分解

难度评级：1950

小提示：

k \ln k = \ln(k^k)

，所以

e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k

。

k \ln k = \ln(k^k),

so

e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k

大提示：

只有

2^2

，

4^4

，和

6^6

会贡献因子

2

。

Only

2^2,

4^4,

and

6^6

contribute factors of

2

解答：

因为

k \ln k = \ln(k^k)

，这个和给出

p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right)

，所以

e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6\text{。}

因子

2

来自

2^2

（贡献

2

），

4^4 = 2^8

（贡献

8

），以及

6^6 = 2^6 \cdot 3^6

（贡献

6

）。因此

2

的指数总共为

2 + 8 + 6 = 16

。

所以正确答案是 C。

Since

k \ln k = \ln(k^k),

the sum gives

p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),

so

e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.

The factors of

2

come from

2^2

(giving

2

),

4^4 = 2^8

(giving

8

), and

6^6 = 2^6 \cdot 3^6

(giving

6

). In total the exponent of

2

is

2 + 8 + 6 = 16.

Thus, the correct answer is C.

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