2014 AMC 12B 第 10 题

Question

Danica 开着新车旅行了整数个小时，平均速度为每小时

55

英里。旅行开始时，里程表显示

abc

英里，其中

abc

是一个

3

位数，满足

a \ge 1

且

a+b+c \le 7

。旅行结束时，里程表显示

cba

英里。

a^2 + b^2 + c^2

是多少？

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging

55

miles per hour. At the beginning of the trip,

abc

miles was displayed on the odometer, where

abc

is a

3

-digit number with

a \ge 1

and

a+b+c \le 7.

At the end of the trip, the odometer showed

cba

miles. What is

a^2 + b^2 + c^2?

26

27

36

37

41

答案：D

知识点：位值整除性最小公倍数

难度评级：1680

小提示：

行驶距离为

cba - abc = 99(c-a)

。

The distance driven is

cba - abc = 99(c-a)

大提示：

它也是

55

的倍数，所以是

\operatorname{lcm}(99,55)=495

的倍数。

It is also a multiple of

55,

so it is a multiple of

\operatorname{lcm}(99,55)=495

解答：

行驶距离为

cba - abc = 99(c-a)

，是

9

的倍数。以每小时

55

英里行驶整数小时，也使它是

55

的倍数，因此它是

495

的倍数。

由于里程表差值至多是一个

3

位数且

a \ge 1

，距离只能是

495

，所以

c - a = 5

。

在

a \ge 1

且

a+b+c \le 7

下，唯一可能是

a=1

，

c=6

，

b=0

。因此

a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37

。

所以正确答案是 D。

The distance driven is

cba - abc = 99(c-a),

a multiple of

9.

Driving a whole number of hours at

55

mph makes it a multiple of

55

too, hence a multiple of

495.

Since the odometer difference is at most a

3

-digit number and

a \ge 1,

the distance must be

495,

so

c - a = 5.

With

a \ge 1

and

a+b+c \le 7,

the only choice is

a=1,

c=6,

b=0.

Then

a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12B 第 10 题

答案：D

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

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