2013 AMC 12A 第 10 题

Question

设

S

为所有正整数

n

的集合，使得

\dfrac{1}{n}

的循环小数表示为

0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots

，其中

a

和

b

是不同的数字。集合

S

中元素的和是多少？

Let

S

be the set of positive integers

n

for which

\dfrac{1}{n}

has the repeating decimal representation

0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,

with

a

and

b

different digits. What is the sum of the elements of

S?

11

44

110

143

155

答案：D

知识点：循环小数因数

难度评级：1510

小提示：

两位循环节表示

\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

。

A two-digit repeating block means

\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

大提示：

所以

\dfrac{99}{n}

是两位数

\overline{ab}

；检查

99

的因数

So

\dfrac{99}{n}

is the two-digit number

\overline{ab};

check the divisors of

99

解答：

若

\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab}

，则

\dfrac{99}{n} = \overline{ab}

是一个两位数。

99

的正因数为

1, 3, 9, 11, 33, 99

。

只有

n = 11, 33, 99

时，

\dfrac{99}{n}

分别等于

09, 03, 01

，它们有两个不同的数字。所求和为

11 + 33 + 99 = 143

。

因此，正确答案是 D。

If

\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},

then

\dfrac{99}{n} = \overline{ab},

a two-digit number. The positive divisors of

99

are

1, 3, 9, 11, 33, 99.

Only

n = 11, 33, 99

make

\dfrac{99}{n}

equal to

09, 03, 01,

which have two different digits. The requested sum is

11 + 33 + 99 = 143.

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A 第 10 题

答案：D

难度评级：1510

小提示：

大提示：

解答：

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