2012 AMC 12B 第 10 题

Question

以曲线

x^2 + y^2 = 25

与

(x - 4)^2 + 9y^2 = 81

的交点为顶点所形成的多边形，面积是多少？

What is the area of the polygon whose vertices are the points of intersection of the curves

x^2 + y^2 = 25

and

(x - 4)^2 + 9y^2 = 81?

24

27

36

37.5

42

答案：B

知识点：方程组换元法三角形面积

难度评级：1500

小提示：

由第一个方程解出

y^2

，再代入第二个方程

Solve the first equation for

y^2

and substitute into the second

大提示：

三个交点形成一个三角形；用一条竖直边作底

The three intersection points form a triangle; use one vertical side as the base

解答：

由

x^2+y^2=25

得

y^2=25-x^2

。代入

(x-4)^2+9y^2=81

得

x^2+x-20=0

，所以

x=4

或

x=-5

。

交点为

(-5,0)

，

(4,3)

，和

(4,-3)

。

从

(4,3)

到

(4,-3)

的竖直边长为

6

，到

(-5,0)

的水平距离为

9

，所以面积是

\tfrac12\cdot6\cdot9=27

。

因此正确答案是 B。

From

x^2+y^2=25

we get

y^2=25-x^2.

Substituting into

(x-4)^2+9y^2=81

gives

x^2+x-20=0,

so

x=4

or

x=-5.

The intersection points are

(-5,0),

(4,3),

and

(4,-3).

The vertical side from

(4,3)

to

(4,-3)

has length

6,

and the horizontal distance to

(-5,0)

is

9,

so the area is

\tfrac12\cdot6\cdot9=27.

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12B 第 10 题

答案：B

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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