2012 AMC 12A 第 14 题

Question

图中的闭合曲线由

9

条全等圆弧组成，每条圆弧的长度为

\dfrac{2\pi}{3}

，且对应圆的圆心都在边长为

2

的正六边形的顶点上。该曲线围成的面积是多少？

The closed curve in the figure is made up of

9

congruent circular arcs each of length

\dfrac{2\pi}{3},

where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side

2.

What is the area enclosed by the curve?

2\pi + 6

2\pi + 4\sqrt{3}

3\pi + 4

2\pi + 3\sqrt{3} + 2

\pi + 6\sqrt{3}

答案：E

知识点：面积分割扇形正多边形

难度评级：1880

小提示：

每条弧都是单位圆的

120^\circ

扇形，因为弧长

\dfrac{2\pi}{3}

表示半径为

1

Each arc is a

120^\circ

sector of a unit circle, since arc length

\dfrac{2\pi}{3}

means radius

1

大提示：

向外和向内的扇形可以重新排列成在边长

2

的六边形上加上一个完整的单位圆

The outward and inward sectors rearrange into one full unit circle added to the hexagon of side

2

解答：

每条弧在单位圆上的长度为

\dfrac{2\pi}{3}

，所以对应一个

120^\circ

扇形。九个相等扇形可重新组合，使围成区域等于边长为

2

的正六边形加上一个半径为

1

的完整圆。

边长为

2

的正六边形可分成

6

个边长为

2

的等边三角形，所以面积为

6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3

。

加上单位圆面积

\pi

，得到

\pi + 6\sqrt3

。

因此，正确答案是 E。

Each arc has length

\dfrac{2\pi}{3}

on a unit circle, so it is a

120^\circ

sector. The nine equal sectors can be reassembled so that the enclosed region equals the regular hexagon of side

2

plus one full circle of radius

1.

A regular hexagon of side

2

splits into

6

equilateral triangles of side

2,

so its area is

6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3.

Adding the unit circle’s area

\pi

gives

\pi + 6\sqrt3.

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12A 第 14 题

答案：E

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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