Question

一个三角形面积为 $30$ ，有一条边长为 $10$ ，到这条边的中线长为 $9$ 。设 $\theta$ 为这条边与该中线形成的锐角。求 $\sin\theta$ ？

A triangle has area $30,$ one side of length $10,$ and the median to that side of length $9.$ Let $\theta$ be the acute angle formed by that side and the median. What is $\sin\theta?$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{9}{10}$

答案：D

知识点：三角形面积中线（几何）三角学

难度评级：1610

解答：

这条中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，每个面积为 $15$ 。其中一个三角形有两条边长分别为 $5$ （底边的一半）和 $9$ （中线），它们的夹角为 $\theta$ 。

它的面积为 $\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15$ ，所以 $\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}$ 。

因此，正确答案是 D。

The median divides the triangle into two triangles of equal area $15.$ One of them has the two sides of length $5$ (half the base) and $9$ (the median) meeting at angle $\theta.$

Its area is $\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,$ so $\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12A 第 10 题

答案：D

难度评级：1610

解答：

其他年份的第 10 题