2011 AMC 12B 第 6 题

Question

从点

A

向一个圆作两条切线。切点

B

与

C

将圆分成的两段弧长之比为

2:3

。

\angle BAC

的度数是多少？

Two tangents to a circle are drawn from a point

A.

The points of contact

B

and

C

divide the circle into arcs with lengths in the ratio

2:3.

What is the degree measure of

\angle BAC?

24

30

36

48

60

答案：C

知识点：切线弧导角

难度评级：1240

小提示：

两段弧按

2:3

分割

360^\circ

。

The two arcs split

360^\circ

in the ratio

2:3

大提示：

切线与切点处的半径成

90^\circ

；使用四边形

ABOC

A tangent meets the radius at its point of contact at

90^\circ

; use quadrilateral

ABOC

解答：

设

O

为圆心。两段弧分别为

2x

和

3x

，且

2x+3x=360^\circ

，所以

x=72^\circ

，小弧

BC

对应的圆心角为

\angle BOC=144^\circ

。

到切点

B

和

C

的半径垂直于切线，所以

\angle ABO=\angle ACO=90^\circ

。在四边形

ABOC

中，

\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 C。

Let

O

be the center. The arcs measure

2x

and

3x

with

2x+3x=360^\circ,

so

x=72^\circ

and the minor arc

BC

gives central angle

\angle BOC=144^\circ.

The radii to

B

and

C

are perpendicular to the tangents, so

\angle ABO=\angle ACO=90^\circ.

In quadrilateral

ABOC,

\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1240

小提示：

大提示：

解答：

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