Question

从点 $A$ 向一个圆作两条切线。切点 $B$ 与 $C$ 将圆分成的两段弧长之比为 $2:3$ 。 $\angle BAC$ 的度数是多少？

Two tangents to a circle are drawn from a point $A.$ The points of contact $B$ and $C$ divide the circle into arcs with lengths in the ratio $2:3.$ What is the degree measure of $\angle BAC?$

$24$

$30$

$36$

$48$

$60$

答案：C

知识点：切线弧导角

难度评级：1240

解答：

设 $O$ 为圆心。两段弧分别为 $2x$ 和 $3x$ ，且 $2x+3x=360^\circ$ ，所以 $x=72^\circ$ ，小弧 $BC$ 对应的圆心角为 $\angle BOC=144^\circ$ 。

到切点 $B$ 和 $C$ 的半径垂直于切线，所以 $\angle ABO=\angle ACO=90^\circ$ 。在四边形 $ABOC$ 中， $\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}$

所以正确答案是 C。

Let $O$ be the center. The arcs measure $2x$ and $3x$ with $2x+3x=360^\circ,$ so $x=72^\circ$ and the minor arc $BC$ gives central angle $\angle BOC=144^\circ.$

The radii to $B$ and $C$ are perpendicular to the tangents, so $\angle ABO=\angle ACO=90^\circ.$ In quadrilateral $ABOC,$ $\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1240

解答：

其他年份的第 6 题