2011 AMC 12A 第 14 题

Question

假设

a

和

b

是独立随机选取的一位正整数。点

(a, b)

位于抛物线

y = ax^2 - bx

上方的概率是多少？

Suppose

a

and

b

are single-digit positive integers chosen independently and at random. What is the probability that the point

(a, b)

lies above the parabola

y = ax^2 - bx?

\dfrac{11}{81}

\dfrac{13}{81}

\dfrac{5}{27}

\dfrac{17}{81}

\dfrac{19}{81}

答案：E

知识点：抛物线基本概率分类讨论

难度评级：1690

小提示：

点在抛物线上方当且仅当

b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a

，即

b(a + 1) \gt a^3

The point is above the parabola when

b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a,

i.e.

b(a + 1) \gt a^3

大提示：

对每个

a

，统计

\{1, \ldots, 9\}

中可行的

b

；只有

a = 1, 2, 3

可能有解

Count valid

b

in

\{1, \ldots, 9\}

for each

a;

only

a = 1, 2, 3

allow any

解答：

代入

x = a

、

y = b

，点在抛物线上方当且仅当

b \gt a^3 - ab

，即

b(a + 1) \gt a^3

。

当

a = 1

：

b \gt \tfrac12

，所有

9

个值都可行。当

a = 2

：

b \gt \tfrac83

，所以

b \ge 3

有

7

个。当

a = 3

：

b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75

，所以

b \ge 7

有

3

个。当

a \ge 4

时，没有

b \le 9

可行。

总数为

9 + 7 + 3 = 19

，共

81

种情况，所以概率为

\dfrac{19}{81}

。

因此，正确答案是 E。

Substituting

x = a,

y = b,

the point is above the parabola when

b \gt a^3 - ab,

i.e.

b(a + 1) \gt a^3.

For

a = 1:

b \gt \tfrac12,

all

9

values work. For

a = 2:

b \gt \tfrac83,

so

b \ge 3,

giving

7.

For

a = 3:

b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,

so

b \ge 7,

giving

3.

For

a \ge 4,

no

b \le 9

works.

The count is

9 + 7 + 3 = 19

out of

81,

so the probability is

\dfrac{19}{81}.

Thus, the correct answer is E.

2011 AMC 12A 第 14 题

答案：E

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

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