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2010 AMC 12A 第 8 题

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8.

三角形 ABCABC 满足 AB=2⋅ACAB=2 \cdot AC。点 DD 和 EE 分别在 AB‾\overline{AB} 和 BC‾\overline{BC} 上，且 ∠BAE=∠ACD\angle BAE = \angle ACD。设 FF 为线段 AEAE 和 CDCD 的交点，并且 △CFE\triangle CFE 是等边三角形。求 ∠ACB\angle ACB？
Triangle ABCABC has AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Let DD and EE be on AB‾\overline{AB} and BC‾,\overline{BC}, respectively, such that ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Let FF be the intersection of segments AEAE and CD,CD, and suppose that △CFE\triangle CFE is equilateral. What is ∠ACB?\angle ACB?
60∘60^\circ
75∘75^\circ
90∘90^\circ
105∘105^\circ
120∘120^\circ
答案：C
知识点：导角等边三角形特殊直角三角形
难度评级：1660
小提示：
设 ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x。
Let ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x
大提示：
用 △CFE\triangle CFE 求 ∠AFC\angle AFC，再追角求 ∠BAC\angle BAC。
Use △CFE\triangle CFE to find ∠AFC,\angle AFC, then angle-chase ∠BAC\angle BAC
解答：
设 ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x。因为 △CFE\triangle CFE 是等边三角形，所以 ∠CFE=60∘\angle CFE=60^\circ。射线 FAFA 与 FEFE 方向相反，因此 ∠AFC=120∘\angle AFC=120^\circ。
在 △AFC\triangle AFC 中，∠FAC=180∘−120∘−x\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x =60∘−x=60^\circ-x。因为 FF 位于 AEAE 上，这个角就是 ∠EAC\angle EAC。所以 ∠BAC=x+(60∘−x)=60∘\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ。
设 AC=sAC=s，则 AB=2sAB=2s。由余弦定理，BC2=s2+(2s)2−2(s)(2s)cos⁡60∘=3s2。 \begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2 \end{aligned}\text{。}因此三边之比为 1:3:21:\sqrt3:2，且 ABAB 为斜边，所以 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ。
所以正确答案是 C。
Let ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE=\angle ACD=x. Because △CFE\triangle CFE is equilateral, ∠CFE=60∘.\angle CFE=60^\circ. Rays FAFA and FEFE are opposite, so ∠AFC=120∘.\angle AFC=120^\circ.
In △AFC,\triangle AFC, we get ∠FAC=180∘−120∘−x\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x =60∘−x.=60^\circ-x. Since FF lies on AE,AE, this is ∠EAC.\angle EAC. Hence ∠BAC=x+(60∘−x)=60∘.\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.
Put AC=s,AC=s, so AB=2s.AB=2s. The Law of Cosines gives BC2=s2+(2s)2−2(s)(2s)cos⁡60∘=3s2. \begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned} Thus the side lengths are in the ratio 1:3:2,1:\sqrt3:2, with ABAB the hypotenuse, so ∠ACB=90∘.\angle ACB=90^\circ.
Thus, C is the correct answer.

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