Question

三角形 $ABC$ 满足 $AB=2 \cdot AC$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上，且 $\angle BAE = \angle ACD$ 。设 $F$ 为线段 $AE$ 和 $CD$ 的交点，并且 $\triangle CFE$ 是等边三角形。求 $\angle ACB$ ？

Triangle $ABC$ has $AB=2 \cdot AC.$ Let $D$ and $E$ be on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, such that $\angle BAE = \angle ACD.$ Let $F$ be the intersection of segments $AE$ and $CD,$ and suppose that $\triangle CFE$ is equilateral. What is $\angle ACB?$

$60^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

$105^\circ$

$120^\circ$

答案：C

知识点：导角等边三角形特殊直角三角形

难度评级：1660

解答：

设 $\angle BAE=\angle ACD=x.$ 因为 $\triangle CFE$ 是等边三角形，所以 $\angle CFE=60^\circ.$ 射线 $FA$ 与 $FE$ 方向相反，因此 $\angle AFC=120^\circ.$

在 $\triangle AFC,$ 中， $\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x$ ，即 $=60^\circ-x.$ 因为 $F$ 位于 $AE,$ 上，这个角就是 $\angle EAC.$ 所以 $\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.$

设 $AC=s,$ 则 $AB=2s.$ 由余弦定理， $\begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned}$ 因此三边之比为 $1:\sqrt3:2,$ 且 $AB$ 为斜边，所以 $\angle ACB=90^\circ.$

所以正确答案是 C。

Let $\angle BAE=\angle ACD=x.$ Because $\triangle CFE$ is equilateral, $\angle CFE=60^\circ.$ Rays $FA$ and $FE$ are opposite, so $\angle AFC=120^\circ.$

In $\triangle AFC,$ we get $\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x$ $=60^\circ-x.$ Since $F$ lies on $AE,$ this is $\angle EAC.$ Hence $\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.$

Put $AC=s,$ so $AB=2s.$ The Law of Cosines gives $\begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned}$ Thus the side lengths are in the ratio $1:\sqrt3:2,$ with $AB$ the hypotenuse, so $\angle ACB=90^\circ.$

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 8 题

答案：C

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 8 题