2006 AMC 12B 第 22 题

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22.

设

a

、

b

、

c

为正整数，且

a + b + c = 2006

，并且

a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n

，其中

m

和

n

为整数，且

m

不能被

10

整除。

n

的最小可能值是多少？

Suppose

a,

b,

and

c

are positive integers with

a + b + c = 2006,

and

a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n,

where

m

and

n

are integers and

m

is not divisible by

10.

What is the smallest possible value of

n?

489

492

495

498

501

答案：B

知识点：勒让德公式末尾零最优化

难度评级：2300

小提示：

因子

5

比因子

2

少，所以

n

计数的是

a!\,b!\,c!

中因子

5

的个数。

Factors of

5

are scarcer than factors of

2,

so

n

counts the factors of

5

in

a!\,b!\,c!

大提示：

对每个

5

的幂使用

\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor

+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2

。

Use

\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor

+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2

at each power of

5

解答：

因子

2

比因子

5

充足，所以

n

等于

a!\,b!\,c!

中因子

5

的个数，即

n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right)\text{。}

对每个

k

，

\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor

+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor

\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2

。对

k = 1, 2, 3, 4

求和（因为

2006 \lt 5^5

），得到

\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492 \end{aligned}\text{。}

等号可以达到，例如取

a = b = 624

、

c = 758

。所以最小值为

492

。

因此，正确答案是 B。

Since factors of

2

are more plentiful than factors of

5,

n

equals the number of factors of

5

in

a!\,b!\,c!,

namely

n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).

For each

k,

\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor

+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor

\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2.

Summing over

k = 1, 2, 3, 4

(as

2006 \lt 5^5

) gives

\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}

Equality is attainable, for example with

a = b = 624

and

c = 758.

So the minimum is

492.

Thus, the correct answer is B.

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