2006 AMC 12B 第 10 题

Question

一个三角形的边长都是整数，其中一条边是第二条边的三倍，第三条边长为

15

。这个三角形的最大可能周长是多少？

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the length of the third side is

15.

What is the greatest possible perimeter of the triangle?

43

44

45

46

47

答案：A

知识点：三角不等式最优化

难度评级：1450

小提示：

设三边为

x

、

3x

和

15

，再使用三角形不等式。

Let the sides be

x,

3x,

and

15,

then apply the triangle inequality

大提示：

起限制作用的条件是

x + 15 \gt 3x

，它给出了

x

的上界。

The binding condition is

x + 15 \gt 3x,

which caps how large

x

can be

解答：

设三边为

x

、

3x

和

15

。三角形不等式要求

x + 3x \gt 15

，所以

x \geq 4

；且

x + 15 \gt 3x

，所以

x \leq 7

。

周长

4x + 15

在

x = 7

时最大，得到

7 + 21 + 15 = 43

。

因此，正确答案是 A。

Let the sides be

x,

3x,

and

15.

The triangle inequality requires

x + 3x \gt 15,

so

x \geq 4,

and

x + 15 \gt 3x,

so

x \leq 7.

The perimeter

4x + 15

is largest when

x = 7,

giving

7 + 21 + 15 = 43.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12B 第 10 题

答案：A

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

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