2004 AMC 12A 第 22 题

Question

三个互相相切、半径为

1

的球放在一个水平平面上。一个半径为

2

的球放在它们上面。从平面到较大球顶部的距离是多少？

Three mutually tangent spheres of radius

1

rest on a horizontal plane. A sphere of radius

2

rests on them. What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

3 + \dfrac{\sqrt{30}}{2}

3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}

3 + \dfrac{\sqrt{123}}{4}

\dfrac{52}{9}

3 + 2\sqrt{2}

答案：B

知识点：球重心勾股定理

难度评级：2150

小提示：

三个小球的球心在离平面高度

1

处形成边长为

2

的等边三角形。

The three small centers form an equilateral triangle of side

2

at height

1

大提示：

大球球心在该三角形重心正上方；利用球心间距离

1 + 2 = 3

求其高度。

The big center lies above the triangle’s centroid; use the distance between centers

1 + 2 = 3

to find its height

解答：

设三个单位球的球心为

A

，

B

，

C

，它们在离平面高度

1

处形成边长为

2

的等边三角形；设

E

为大球球心，位于

\triangle ABC

的重心

D

正上方。

从顶点到重心的距离为

AD = \tfrac{2\sqrt3}{3}

，且

AE = 1 + 2 = 3

，所以

\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{69}}{3} \end{aligned}\text{。}

因为

D

位于平面上方

1

个单位，而大球顶部在

E

上方

2

个单位，所以总高度为

1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}\text{。}

所以正确答案是 B。

Let the centers of the three unit spheres be

A,

B,

C,

forming an equilateral triangle of side

2

at height

1

above the plane, and let

E

be the center of the large sphere directly above the centroid

D

of

\triangle ABC.

The distance from a vertex to the centroid is

AD = \tfrac{2\sqrt3}{3},

and

AE = 1 + 2 = 3,

so

\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}

Since

D

is

1

unit above the plane and the top of the large sphere is

2

units above

E,

the total height is

1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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