Question

一个慈善机构出售了 $140$ 张义演票，共收入 $\$2001$ 。有些票按全价出售（全价是整数美元），其余按半价出售。全价票一共收入了多少钱？

A charity sells $140$ benefit tickets for a total of $\$2001.$ Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

$\$782$

$\$986$

$\$1158$

$\$1219$

$\$1449$

答案：A

知识点：丢番图方程质因数分解极限情形界定

难度评级：1370

解答：

设 $n$ 张票以每张 $p$ 美元的全价出售。则所以 $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29$ 。 $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,$

因为 $0 \le n \le 140$ ，我们需要 $4002$ 的一个因数满足 $140 \le n + 140 \le 280$ 。唯一这样的因数是 $174 = 2 \cdot 3 \cdot 29$ ，得 $n = 34$ 且 $p = 23$ 。

全价票收入为 $34 \cdot 23 = 782$ 美元。

因此，正确答案是 A。

Let $n$ tickets sell at full price $p$ dollars. Then $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,$ so $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Since $0 \le n \le 140,$ we need a factor of $4002$ with $140 \le n + 140 \le 280.$ The only such factor is $174 = 2 \cdot 3 \cdot 29,$ giving $n = 34$ and $p = 23.$

The full-price tickets raise $34 \cdot 23 = 782$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 12 第 7 题

答案：A

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 7 题