2001 AMC 12 第 7 题

Question

一个慈善机构出售了

140

张义演票，共收入

\$2001

。有些票按全价出售（全价是整数美元），其余按半价出售。全价票一共收入了多少钱？

A charity sells

140

benefit tickets for a total of

\$2001.

Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

\$782

\$986

\$1158

\$1219

\$1449

答案：A

知识点：丢番图方程质因数分解极限情形界定

难度评级：1370

小提示：

若

n

张全价票每张

p

美元，则总收入是

np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001

With

n

full-price tickets at price

p,

the total is

np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001

大提示：

这变为

p(n + 140)

= 4002

= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29

，且

n + 140

在

140

和

280

之间

This becomes

p(n + 140)

= 4002

= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29,

and

n + 140

lies between

140

and

280

解答：

设

n

张票以每张

p

美元的全价出售。则

np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001\text{，}

所以

p(n + 140)

= 4002

= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29

。

因为

0 \le n \le 140

，我们需要

4002

的一个因数满足

140 \le n + 140 \le 280

。唯一这样的因数是

174 = 2 \cdot 3 \cdot 29

，得

n = 34

且

p = 23

。

全价票收入为

34 \cdot 23 = 782

美元。

因此，正确答案是 A。

Let

n

tickets sell at full price

p

dollars. Then

np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,

so

p(n + 140)

= 4002

= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29.

Since

0 \le n \le 140,

we need a factor of

4002

with

140 \le n + 140 \le 280.

The only such factor is

174 = 2 \cdot 3 \cdot 29,

giving

n = 34

and

p = 23.

The full-price tickets raise

34 \cdot 23 = 782

dollars.

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 12 第 7 题

答案：A

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题