Question

图像 $y = -|x - a| + b$ 和 $y = |x - c| + d$ 相交于点 $(2, 5)$ 和 $(8, 3)$ 。求 $a + c$ 。

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

答案：C

知识点：绝对值坐标几何中点

难度评级：1740

解答：

第一个图像是倒置直角折线，顶点为 $-|x-a|+b=|x-c|+d$ ；第二个是正置直角折线，顶点为 $a$ 。由于每条边的斜率都是 $c$ ，四个点 $x=\tfrac{a+c}{2}$ 按顺序构成一个矩形。 $x$ $2$ $8$ ， $a+c=2+8=10$ 。 $|x-a|+|x-c|=b-d.$

矩形对角线有共同中点，所以，得。所以正确答案是 C。

At an intersection, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ or $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints $a$ and $c.$ The two solutions are symmetric about $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Their $x$ -coordinates are $2$ and $8,$ so $a+c=2+8=10.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1740

解答：

其他年份的第 22 题