1999 AMC 12 第 22 题

Question

图像

y = -|x - a| + b

和

y = |x - c| + d

相交于点

(2, 5)

和

(8, 3)

。求

a + c

。

The graphs of

y = -|x - a| + b

and

y = |x - c| + d

intersect at points

(2, 5)

and

(8, 3).

Find

a + c.

7

8

10

13

18

答案：C

知识点：绝对值坐标几何中点

难度评级：1740

小提示：

第一个图像在

(a, b)

处取得最高点，第二个图像在

(c, d)

处取得最低点。

The first graph peaks at

(a, b);

the second bottoms out at

(c, d)

大提示：

把交点满足的方程改写为

|x-a|+|x-c|=b-d

，再利用对称性。

Rewrite the intersection equation as

|x-a|+|x-c|=b-d

and use symmetry

解答：

在交点处有

-|x-a|+b=|x-c|+d

，即

|x-a|+|x-c|=b-d\text{。}

因为两个交点彼此分离，它们分别位于以

a

和

c

为端点的区间的两侧。这两个解关于

x=\tfrac{a+c}{2}

对称。它们的

x

坐标为

2

和

8

，所以

a+c=2+8=10

。

所以正确答案是 C。

At an intersection,

-|x-a|+b=|x-c|+d,

or

|x-a|+|x-c|=b-d.

Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints

a

and

c.

The two solutions are symmetric about

x=\tfrac{a+c}{2}.

Their

x

-coordinates are

2

and

8,

so

a+c=2+8=10.

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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