1998 AMC 12 第 22 题

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22.

下列表达式的值是多少？

\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}\text{？} \end{aligned}

What is the value of the expression

\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}? \end{aligned}

0.01

0.1

1

2

10

答案：C

知识点：logarithms sums

难度评级：1630

小提示：

利用倒数恒等式

\frac{1}{\log_bx}=\log_xb

Use the reciprocal identity

\frac{1}{\log_bx}=\log_xb

大提示：

合并所得的

2,3,\ldots,100

的对数

Combine the resulting logarithms of

2,3,\ldots,100

解答：

每一项都等于

\log_{100!}b

。因此总和为

\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Each term equals

\log_{100!}b.

Therefore the sum is

\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1. \end{aligned}

Thus C is correct.

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