2009 AMC 12B Problema 1

Question

Cada mañana de su semana laboral de cinco días, Jane compró o bien un panecillo de

50

centavos o bien un bagel de

75

centavos. Su costo total de la semana fue un número entero de dólares. ¿Cuántos bagels compró?

Each morning of her five-day workweek, Jane bought either a

50

-cent muffin or a

75

-cent bagel. Her total cost for the week was a whole number of dollars. How many bagels did she buy?

1

2

3

4

5

Respuesta: B

Conceptos:paridad dinero análisis por casos

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Compra

5

artículos en total, así que los panecillos y los bagels juntos suman

5

.

She buys

5

items total, so muffins and bagels together number

5

Pista grande:

El total de

50m + 75b

centavos debe ser un múltiplo de

100;

reduce el costo módulo

100

.

The total

50m + 75b

cents must be a multiple of

100;

reduce the cost modulo

100

Solución:

Con

b

bagels compra

5 - b

panecillos, con un costo de

50(5-b) + 75b = 250 + 25b

centavos. Para que sea un número entero de dólares, esto debe ser un múltiplo de

100.

Así

25b\equiv50\pmod{100},

o bien

b\equiv2\pmod4.

Como

0\le b\le5,

el único valor que funciona es

b=2

, lo que da

300

centavos

= \$3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With

b

bagels she buys

5 - b

muffins, costing

50(5-b) + 75b = 250 + 25b

cents. For a whole number of dollars this must be a multiple of

100.

Thus

25b\equiv50\pmod{100},

or

b\equiv2\pmod4.

Since

0\le b\le5,

only

b=2

works, giving

300

cents

= \$3.

Thus, the correct answer is B.