Question

La media aritmética de los nueve números del conjunto $\{9,$ $99,$ $999,$ $9999,$ $\ldots,$ $999999999\}$ es un número de $9$ cifras $M,$ cuyas cifras son todas distintas. El número $M$ no contiene la cifra

The arithmetic mean of the nine numbers in the set $\{9,$ $99,$ $999,$ $9999,$ $\ldots,$ $999999999\}$ is a $9$ -digit number $M,$ all of whose digits are distinct. The number $M$ does not contain the digit

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Solución:

Cada uno de los nueve números es $10^k-1,$ así que su suma es $9+99+\cdots+999{,}999{,}999.$ Al dividir entre $9,$ $\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}$ Sus cifras son del $1$ al $9,$ por lo que la cifra que falta es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each of the nine numbers is $10^k-1,$ so their sum is $9+99+\cdots+999{,}999{,}999.$ Dividing by $9,$ $\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}$ Its digits are $1$ through $9,$ so the missing digit is $0.$

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años