2007 AMC 12B Problema 3

Question

El punto

O

es el centro de la circunferencia circunscrita al

\triangle ABC,

con

\angle BOC=120^\circ

y

\angle AOB=140^\circ,

como se muestra. ¿Cuál es la medida en grados de

\angle ABC

?

The point

O

is the center of the circle circumscribed about

\triangle ABC,

with

\angle BOC=120^\circ

and

\angle AOB=140^\circ,

as shown. What is the degree measure of

\angle ABC?

35

40

45

50

60

Respuesta: D

Conceptos:ángulo inscrito suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Los tres ángulos centrales en

O

suman

360^\circ

.

The three central angles at

O

add up to

360^\circ

Pista grande:

El ángulo inscrito

\angle ABC

es la mitad del ángulo central

\angle AOC

.

The inscribed angle

\angle ABC

is half of the central angle

\angle AOC

Solución:

Los ángulos alrededor de

O

suman

360^\circ,

así que

\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}

Por el teorema del ángulo inscrito,

\angle ABC

subtiende el mismo arco

AC

que el ángulo central

\angle AOC,

así que

\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angles around

O

sum to

360^\circ,

so

\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}

By the inscribed angle theorem,

\angle ABC

subtends the same arc

AC

as the central angle

\angle AOC,

so

\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.

Thus, the correct answer is D.