2026 AIME I Problema 4

Sume $1$ a ambos lados: $a + b + ab + 1 = (a+1)(b+1)$

Así $n$ funciona exactamente cuando $n + 1$ es un producto de dos factores distintos, cada uno al menos $2;$ quite los primos y los cuadrados de primos de $2$ a $101$

Como $a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1,$ un entero $n$ es representable exactamente cuando $n + 1 = xy$ para enteros distintos $x = a + 1$ y $y = b + 1$ que son cada uno al menos $2.$ Así contamos los enteros $n + 1$ en $\{2, 3, \ldots, 101\}$ que admiten tal factorización.

Un primo no tiene factorización en dos factores que sean ambos al menos $2,$ y el cuadrado de un primo $p^2$ se factoriza así solo como $p \cdot p,$ lo cual no está permitido. Todo otro compuesto $M$ funciona: si $p$ es su menor factor primo, entonces $M = p \cdot \frac{M}{p}$ con $\frac{M}{p} \gt p$ ya que $M \gt p^2.$ En $\{2, \ldots, 101\}$ hay $26$ primos (los $25$ primos menores que $100,$ junto con $101$) y $4$ cuadrados de primos ($4,$ $9,$ $25,$ $49$).

El total es $100 - 26 - 4 = 70.$