2008 AIME I Problema 4

Question

Existen enteros positivos únicos

x

e

y

que satisfacen la ecuación

x^2 + 84x + 2008 = y^2.

Halla

x + y.

There exist unique positive integers

x

and

y

that satisfy the equation

x^2 + 84x + 2008 = y^2.

Find

x + y.

Respuesta

Respuesta: 80

Conceptos:Ecuación diofántica completar el cuadrado diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara

x^2 + 84x + 2008

con

(x + 42)^2 = x^2 + 84x + 1764

Compare

x^2 + 84x + 2008

with

(x + 42)^2 = x^2 + 84x + 1764

Pista grande:

Escribe

y^2 - (x + 42)^2 = 244

y factoriza:

244 = 2 \cdot 2 \cdot 61,

y ambos factores de la diferencia de cuadrados deben ser pares

Write

y^2 - (x + 42)^2 = 244

and factor:

244 = 2 \cdot 2 \cdot 61,

and both factors of the difference of squares must be even

Solución:

Completando el cuadrado,

x^2 + 84x + 2008

= (x + 42)^2 + 244,

así que

y^2 - (x + 42)^2 = 244,

lo que se factoriza como

\begin{aligned} &(y - x - 42) \\ &\quad {}\cdot (y + x + 42) \\ &= 244 \\ &= 2^2 \cdot 61. \end{aligned}

Los dos factores tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos son pares:

y - x - 42 = 2

y

y + x + 42 = 122.

Sumando se obtiene

y = 62,

y entonces

x = 18;

en efecto

18^2 + 84 \cdot 18 + 2008

= 3844

= 62^2.

Por lo tanto

x + y = 18 + 62 = 80.

Completing the square,

x^2 + 84x + 2008

= (x + 42)^2 + 244,

so

y^2 - (x + 42)^2 = 244,

which factors as

\begin{aligned} &(y - x - 42) \\ &\quad {}\cdot (y + x + 42) \\ &= 244 \\ &= 2^2 \cdot 61. \end{aligned}

The two factors have the same parity, and their product is even, so both are even:

y - x - 42 = 2

and

y + x + 42 = 122.

Adding gives

y = 62,

and then

x = 18;

indeed

18^2 + 84 \cdot 18 + 2008

= 3844

= 62^2.

Therefore

x + y = 18 + 62 = 80.