2004 AIME II Problema 4

Question

¿Cuántos enteros positivos menores que

10{,}000

tienen a lo sumo dos dígitos diferentes?

How many positive integers less than

10{,}000

have at most two different digits?

Respuesta

Respuesta: 927

Conceptos:dígitos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Todo número de uno o dos dígitos cumple; cuenta los números de

3

y de

4

dígitos según qué posiciones contienen cada uno de los dos dígitos.

Every number with one or two digits qualifies; count

3

- and

4

-digit numbers by which positions hold which of two digit values

Pista grande:

Un número de

4

dígitos con dígito inicial

a

y otro dígito

b \ne a

tiene

2^3 - 1 = 7

patrones, cada uno realizable de

9 \cdot 9

maneras; suma los

9

números cuyas cifras son todas iguales.

A

4

-digit number with leading digit

a

and second value

b \ne a

has

2^3 - 1 = 7

patterns, each in

9 \cdot 9

ways; add the

9

numbers whose digits are all equal

Solución:

Todos los

99

enteros positivos menores que

100

cumplen. Un número de

3

dígitos que cumple tiene todas sus cifras iguales (

9

posibilidades) o usa un dígito inicial

a \ge 1

junto con un segundo valor

b \ne a

en algunas de las dos últimas posiciones:

2^2 - 1 = 3

patrones, cada uno realizado de

9 \cdot 9

maneras (

9

opciones para

a,

luego

9

para

b

), lo que da

9 + 3 \cdot 81 = 252

números.

De manera similar, un número de

4

dígitos que cumple tiene todas sus cifras iguales (

9

posibilidades) o tiene

b \ne a

apareciendo en un subconjunto no vacío de las tres últimas posiciones:

2^3 - 1 = 7

patrones, cada uno realizable de

9 \cdot 9

maneras, lo que da

9 + 7 \cdot 81 = 576

números.

El total es

99 + 252 + 576 = 927.

All

99

positive integers below

100

qualify. A qualifying

3

-digit number is either a number whose digits are all equal (

9

of them) or uses a leading digit

a \ge 1

together with a second value

b \ne a

in some of the last two positions:

2^2 - 1 = 3

patterns, each realized in

9 \cdot 9

ways (

9

choices for

a,

then

9

for

b

), for

9 + 3 \cdot 81 = 252

numbers.

Similarly a qualifying

4

-digit number has all its digits equal (

9

possibilities) or has

b \ne a

appearing in a nonempty subset of the last three positions:

2^3 - 1 = 7