2025 AMC 12A 第 9 题

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9.

令

w

为复数

2 + i

，其中

i = \sqrt{-1}

。哪个实数

r

具有这样的性质：

r

，

w

，和

w^2

在复平面中是三个共线点？

Let

w

be the complex number

2 + i,

where

i = \sqrt{-1}.

What real number

r

has the property that

r,

w,

and

w^2

are three collinear points in the complex plane?

\dfrac{3}{4}

1

\dfrac{7}{5}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{5}{3}

答案：E

知识点：复数斜率

难度评级：1500

小提示：

计算

w^2

，并把

w = (2,1)

和

w^2

看作平面上的点

Compute

w^2

and treat

w = (2,1)

and

w^2

as points in the plane

大提示：

求过

w

和

w^2

的直线与实轴的交点

Find where the line through

w

and

w^2

meets the real axis

解答：

计算得

w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i

，所以这些点是

(2,1)

和

(3,4)

。

过它们的直线斜率为

\dfrac{4-1}{3-2} = 3

，因而方程为

y = 3x - 5

。令

y = 0

得到

x = \dfrac{5}{3}

。

所以

r = \dfrac{5}{3}

。

因此，正确答案是 E。

Compute

w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i,

so the points are

(2,1)

and

(3,4).

The line through them has slope

\dfrac{4-1}{3-2} = 3,

giving

y = 3x - 5.

Setting

y = 0

yields

x = \dfrac{5}{3}.

So

r = \dfrac{5}{3}.

Thus, the correct answer is E.

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