2024 AMC 12B 第 7 题

Question

下图中，

WXYZ

是一个长方形，且

WX = 4

、

WZ = 8

。点

M

在

\overline{XY}

上，点

A

在

\overline{YZ}

上，且

\angle WMA

是直角。三角形

\triangle WXM

和

\triangle WAZ

的面积相等。求

\triangle WMA

的面积。

In the figure below

WXYZ

is a rectangle with

WX = 4

and

WZ = 8.

Point

M

lies on

\overline{XY},

point

A

lies on

\overline{YZ},

and

\angle WMA

is a right angle. The areas of

\triangle WXM

and

\triangle WAZ

are equal. What is the area of

\triangle WMA?

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答案：C

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1420

小提示：

设

X = (0,0)

、

W = (0,4)

、

Y = (8,0)

、

Z = (8,4)

，并令

M = (m, 0)

、

A = (8, a)

。

Place

X = (0,0),

W = (0,4),

Y = (8,0),

Z = (8,4),

with

M = (m, 0)

and

A = (8, a)

大提示：

直角条件给出

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0

，等面积条件给出第二个方程；解出

m

和

a

。

The right angle gives

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,

and the equal-area condition gives a second equation; solve for

m

and

a

解答：

设

X = (0,0)

、

W = (0,4)

、

Y = (8,0)

、

Z = (8,4)

，其中

M = (m, 0)

在

\overline{XY}

上，

A = (8, a)

在

\overline{YZ}

上。

因为

\angle WMA = 90^\circ

，所以

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}

= (-m)(8-m)

+ 4a = 0

，即

4a = m(8-m)

。面积为

[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m

而

[\triangle WAZ]

= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)

= 4(4 - a)

。面积相等给出

m = 8 - 2a

。

把

a = \tfrac{8-m}{2}

代入

4a = m(8-m)

，得

2(8-m) = m(8-m)

，所以

m = 2

，

a = 3

。另一个代数根

m=8

会导致

M=A=Y

，此时

\angle WMA

没有定义，所以不成立。于是取

W = (0,4)

、

M = (2,0)

、

A = (8,3)

，得

\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Set

X = (0,0),

W = (0,4),

Y = (8,0),

Z = (8,4),

with

M = (m, 0)

on

\overline{XY}

and

A = (8, a)

on

\overline{YZ}.

Since

\angle WMA = 90^\circ,

\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}

= (-m)(8-m)

+ 4a = 0,

so

4a = m(8-m).

The areas give

[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m

and

[\triangle WAZ]

= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)

= 4(4 - a).

Setting these equal yields

m = 8 - 2a.

Substituting

a = \tfrac{8-m}{2}

into

4a = m(8-m)

gives

2(8-m) = m(8-m),

so

m = 2

and

a = 3.

The other algebraic root,

m=8,

gives

M=A=Y

and no defined angle

\angle WMA,

so it is invalid. Then with

W = (0,4),

M = (2,0),

A = (8,3),

\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 7 题

答案：C

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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