Question

下图中， $WXYZ$ 是一个长方形，且 $WX = 4$ 、 $WZ = 8$ 。点 $M$ 在 $\overline{XY}$ 上，点 $A$ 在 $\overline{YZ}$ 上，且 $\angle WMA$ 是直角。三角形 $\triangle WXM$ 和 $\triangle WAZ$ 的面积相等。求 $\triangle WMA$ 的面积。

In the figure below $WXYZ$ is a rectangle with $WX = 4$ and $WZ = 8.$ Point $M$ lies on $\overline{XY},$ point $A$ lies on $\overline{YZ},$ and $\angle WMA$ is a right angle. The areas of $\triangle WXM$ and $\triangle WAZ$ are equal. What is the area of $\triangle WMA?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1420

解答：

设 $X = (0,0)$ 、 $W = (0,4)$ 、 $Y = (8,0)$ 、 $Z = (8,4)$ ，其中 $M = (m, 0)$ 在 $\overline{XY}$ 上， $A = (8, a)$ 在 $\overline{YZ}$ 上。

因为 $\angle WMA = 90^\circ$ ，所以 $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}$ $= (-m)(8-m)$ $+ 4a = 0$ ，即 $4a = m(8-m)$ 。面积为 $[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m$ 而 $[\triangle WAZ]$ $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)$ $= 4(4 - a)$ 。面积相等给出 $m = 8 - 2a$ 。

代入 $a = \tfrac{8-m}{2}$ 到 $4a = m(8-m)$ ，得 $2(8-m) = m(8-m)$ ，所以 $m = 2$ 、 $a = 3$ 。于是 $W = (0,4)$ 、 $M = (2,0)$ 、 $A = (8,3)$ ，故 $m=8$ ， $M=A=Y$ $\angle WMA$ ， $\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

Set $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ on $\overline{XY}$ and $A = (8, a)$ on $\overline{YZ}.$

Since $\angle WMA = 90^\circ,$ $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}$ $= (-m)(8-m)$ $+ 4a = 0,$ so $4a = m(8-m).$ The areas give $[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m$ and $[\triangle WAZ]$ $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)$ $= 4(4 - a).$ Setting these equal yields $m = 8 - 2a.$

Substituting $a = \tfrac{8-m}{2}$ into $4a = m(8-m)$ gives $2(8-m) = m(8-m),$ so $m = 2$ and $a = 3.$ The other algebraic root, $m=8,$ gives $M=A=Y$ and no defined angle $\angle WMA,$ so it is invalid. Then with $W = (0,4),$ $M = (2,0),$ $A = (8,3),$ $\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 7 题

答案：C

难度评级：1420

解答：

其他年份的第 7 题