Question

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=90^\circ$ ，且 $BA=BC=\sqrt2$ 。点 $P_1,P_2,\ldots,P_{2024}$ 在斜边 $AC$ 上，并满足 $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C$ 。

下列向量和的长度是多少？ $\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}$

In $\triangle ABC,$ $\angle ABC=90^\circ$ and $BA=BC=\sqrt2.$ Points $P_1,P_2,\ldots,P_{2024}$ lie on hypotenuse $AC$ so that $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C.$

What is the length of the vector sum $\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}$

$1011$

$1012$

$2023$

$2024$

$2025$

答案：D

知识点：向量中线（几何）对称性

难度评级：1430

解答：

点 $P_k$ 关于 $AC$ 的中点 $M$ 对称，所以把 $P_k$ 和它的对称点配对可得 $\vec{BP_k}+\vec{BP_{2025-k}}=2\,\vec{BM}$ 。因此整个和为 $2024\,\vec{BM}$ 。在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边的一半；此处 $AC=2$ ，所以 $BM=1$ 。向量和的长度为 $2024\cdot1=2024$ 。因此正确答案是 D。

The points $P_k$ are symmetric about the midpoint $M$ of $AC,$ so pairing $P_k$ with its mirror gives $\vec{BP_k}+\vec{BP_{2025-k}}=2\,\vec{BM}.$ Hence the whole sum is $2024\,\vec{BM}.$ In a right triangle the median to the hypotenuse has length half the hypotenuse; here $AC=2,$ so $BM=1.$ The length of the sum is $2024\cdot1=2024.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 7 题

答案：D

难度评级：1430

解答：

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