2024 AMC 12A 第 13 题

Question

函数

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

的图像有一条对称轴。点

\left(-1,\tfrac12\right)

关于这条对称轴的反射点是什么？

The graph of

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

has an axis of symmetry. What is the reflection of the point

\left(-1,\tfrac12\right)

over this axis?

\left(-1,-\tfrac32\right)

(-1,0)

\left(-1,\tfrac12\right)

\left(0,\tfrac12\right)

\left(3,\tfrac12\right)

答案：D

知识点：函数对称性

难度评级：1660

小提示：

对称轴是函数取得最小值处的竖直直线

x=c

。

The axis of symmetry is the vertical line

x=c

where the function attains its minimum

大提示：

令导数

e^{x+1}-e^{-x}=0

来求

c

，再把

x=-1

关于它反射

Set the derivative

e^{x+1}-e^{-x}=0

to find

c,

then reflect

x=-1

across it

解答：

曲线

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

关于其最小值所在的竖直直线对称。令导数

e^{x+1}-e^{-x}=0

得到

x+1=-x

，所以

x=-\tfrac12

。把

\left(-1,\tfrac12\right)

关于

x=-\tfrac12

反射，

y

坐标不变，

x=-1

变为

x=0

。反射点是

\left(0,\tfrac12\right)

。因此正确答案是 D。

The curve

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

is symmetric about the vertical line through its minimum. Setting the derivative

e^{x+1}-e^{-x}=0

gives

x+1=-x,

so

x=-\tfrac12.

Reflecting

\left(-1,\tfrac12\right)

across

x=-\tfrac12

keeps the

y

-coordinate and sends

x=-1

to

x=0.

The image is

\left(0,\tfrac12\right).

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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