Question

长方体 $P$ 的三条不同棱长为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。 $P$ 的全部 $12$ 条棱长之和为 $13$ ， $P$ 的全部 $6$ 个面的面积之和为 $\tfrac{11}{2}$ ， $P$ 的体积为 $\tfrac{1}{2}$ 。连接 $P$ 的两个顶点的最长内部对角线长度是多少？

A rectangular box $P$ has distinct edge lengths $a,$ $b,$ and $c.$ The sum of the lengths of all $12$ edges of $P$ is $13,$ the sum of the areas of all $6$ faces of $P$ is $\tfrac{11}{2},$ and the volume of $P$ is $\tfrac{1}{2}.$ What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $P?$

$2$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

答案：D

知识点：长方体代数变形

难度评级：1500

解答：

由棱长和， $4(a+b+c)=13$ ，所以 $a+b+c=\tfrac{13}{4}$ 。由表面积， $2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2}$ ，所以 $ab+bc+ca=\tfrac{11}{4}$ 。因此所以对角线长为 $\sqrt{\tfrac{81}{16}}=\tfrac{9}{4}$ 。 $\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\left(\tfrac{13}{4}\right)^2-2\cdot\tfrac{11}{4} \\ &=\tfrac{169}{16}-\tfrac{88}{16} \\ &=\tfrac{81}{16}, \end{aligned}$

因此，正确答案是 D。

From the edges, $4(a+b+c)=13,$ so $a+b+c=\tfrac{13}{4}.$ From the faces, $2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2},$ so $ab+bc+ca=\tfrac{11}{4}.$ Then $\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\left(\tfrac{13}{4}\right)^2-2\cdot\tfrac{11}{4} \\ &=\tfrac{169}{16}-\tfrac{88}{16} \\ &=\tfrac{81}{16}, \end{aligned}$ so the diagonal is $\sqrt{\tfrac{81}{16}}=\tfrac{9}{4}.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1500

解答：

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