2023 AMC 12B 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

长方体

P

的三条不同棱长为

a

、

b

和

c

。

P

的全部

12

条棱长之和为

13

，

P

的全部

6

个面的面积之和为

\tfrac{11}{2}

，

P

的体积为

\tfrac{1}{2}

。连接

P

的两个顶点的最长内部对角线长度是多少？

A rectangular box

P

has distinct edge lengths

a,

b,

and

c.

The sum of the lengths of all

12

edges of

P

is

13,

the sum of the areas of all

6

faces of

P

is

\tfrac{11}{2},

and the volume of

P

is

\tfrac{1}{2}.

What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of

P?

2

\dfrac{3}{8}

\dfrac{9}{8}

\dfrac{9}{4}

\dfrac{3}{2}

答案：D

知识点：长方体代数变形

难度评级：1500

小提示：

对角线长为

\sqrt{a^2+b^2+c^2}

；题目给出了

a+b+c

和

ab+bc+ca

。

The diagonal is

\sqrt{a^2+b^2+c^2};

you are given

a+b+c

and

ab+bc+ca

大提示：

使用

a^2+b^2+c^2

=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)

Use

a^2+b^2+c^2

=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)

解答：

由棱长和，

4(a+b+c)=13

，所以

a+b+c=\tfrac{13}{4}

。由表面积，

2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2}

，所以

ab+bc+ca=\tfrac{11}{4}

。因此

\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\left(\tfrac{13}{4}\right)^2-2\cdot\tfrac{11}{4} \\ &=\tfrac{169}{16}-\tfrac{88}{16} \\ &=\tfrac{81}{16}\text{，} \end{aligned}

所以对角线长为

\sqrt{\tfrac{81}{16}}=\tfrac{9}{4}

。

因此，正确答案是 D。

From the edges,

4(a+b+c)=13,

so

a+b+c=\tfrac{13}{4}.

From the faces,

2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2},

so

ab+bc+ca=\tfrac{11}{4}.

Then

\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\left(\tfrac{13}{4}\right)^2-2\cdot\tfrac{11}{4} \\ &=\tfrac{169}{16}-\tfrac{88}{16} \\ &=\tfrac{81}{16}, \end{aligned}

so the diagonal is

\sqrt{\tfrac{81}{16}}=\tfrac{9}{4}.

Thus, the correct answer is D.

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