2022 AMC 12B 第 13 题

Question

下图显示一个边长为

4

和

8

的长方形，以及一个边长为

5

的正方形。正方形的三个顶点如图所示，分别位于长方形的三条不同边上。正方形和长方形内部重叠区域的面积是多少？

The diagram below shows a rectangle with side lengths

4

and

8

and a square with side length

5.

Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

15\dfrac18

15\dfrac38

15\dfrac12

15\dfrac58

15\dfrac78

答案：D

知识点：坐标几何面积分割勾股数

难度评级：1660

小提示：

建立坐标系；正方形的倾斜会在角落形成

3

-

4

-

5

直角三角形。

Set up coordinates; the tilt of the square makes

3

-

4

-

5

right triangles at the corners

大提示：

除了一个伸出上边界的三角形，整个正方形都在长方形内；从

25

中减去该三角形面积。

The whole square lies inside the rectangle except one triangle sticking out past the top edge; subtract that triangle from

25

解答：

将长方形放在

[0,8] \times [0,4]

。利用

3

-

4

-

5

直角三角形，倾斜正方形的顶点可取为

(4, 0)

、

(0, 3)

、

(3, 7)

和

(7, 4)

。

除了伸出顶边

y = 4

的三角形外，整个正方形都在长方形内。该三角形的顶点为

(0.75, 4)

、

(3, 7)

和

(7, 4)

，面积为

\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}\text{。}

重叠区域的面积为

25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58

。

所以正确答案是 D。

Place the rectangle as

[0,8] \times [0,4].

The tilted square, using the

3

-

4

-

5

right triangles, has vertices

(4, 0),

(0, 3),

(3, 7),

and

(7, 4).

The entire square lies inside the rectangle except for the triangle poking above the top edge

y = 4.

That triangle has vertices

(0.75, 4),

(3, 7),

and

(7, 4),

with area

\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.

The region inside both is

25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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