Question

下图显示一个边长为 $4$ 和 $8$ 的长方形，以及一个边长为 $5$ 的正方形。正方形的三个顶点如图所示，分别位于长方形的三条不同边上。正方形和长方形内部重叠区域的面积是多少？

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5.$ Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$15\dfrac18$

$15\dfrac38$

$15\dfrac12$

$15\dfrac58$

$15\dfrac78$

答案：D

知识点：坐标几何面积分割勾股数

难度评级：1660

解答：

将长方形放在 $[0,8] \times [0,4]$ 利用 $3$ - $4$ - $5$ 直角三角形，倾斜正方形的顶点可取为 $(4, 0)$ $(0, 3)$ $(3, 7)$ 和 $(7, 4)$ 。

除了伸出顶边 $y = 4$ 的三角形外，整个正方形都在长方形内。该三角形的顶点为 $(0.75, 4)$ $(3, 7)$ 和 $(7, 4)$ 面积为 $\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.$

重叠区域的面积为 $25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58$ 。

所以正确答案是 D。

Place the rectangle as $[0,8] \times [0,4].$ The tilted square, using the $3$ - $4$ - $5$ right triangles, has vertices $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(3, 7),$ and $(7, 4).$

The entire square lies inside the rectangle except for the triangle poking above the top edge $y = 4.$ That triangle has vertices $(0.75, 4),$ $(3, 7),$ and $(7, 4),$ with area $\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.$

The region inside both is $25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

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