2022 AMC 12A 第 8 题

先试着解答 2022 AMC 12A 第 8 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2022 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

无限乘积

\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots

收敛到一个实数。这个数是多少？

The infinite product

\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots

evaluates to a real number. What is that number?

\sqrt{10}

\sqrt[3]{100}

\sqrt[4]{1000}

10

10\sqrt[3]{10}

答案：A

知识点：指数等比数列

难度评级：1500

小提示：

把每个因子都写成

10

的幂

Write every factor as a power of

10

大提示：

指数为

\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots

，构成一个等比数列

The exponents are

\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,

a geometric series

解答：

第

k

个因子是对

10

连取

k

次立方根，也就是

10^{\frac{1}{3^k}}

。

这个乘积等于

10

的如下幂：

\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12 \end{aligned}\text{。}

所以乘积的值为

10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}

。

因此，正确答案是 A。

The

k

th factor is

10

raised to the

k

-fold cube root, namely

10^{\frac{1}{3^k}}.

The product is

10

raised to

\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}

So the value is

10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.

Thus, the correct answer is A.

其他年份的第 8 题