2022 AMC 12A 第 13 题

Question

设

\mathcal{R}

是复平面中的一个区域，由所有可写成复数

z_1

与

z_2

之和的复数

z

组成，其中

z_1

在线段上，该线段的端点为

3

和

4i

，且

z_2

的模至多为

1

。最接近

\mathcal{R}

面积的整数是多少？

Let

\mathcal{R}

be the region in the complex plane consisting of all complex numbers

z

that can be written as the sum of complex numbers

z_1

and

z_2,

where

z_1

lies on the segment with endpoints

3

and

4i,

and

z_2

has magnitude at most

1.

What integer is closest to the area of

\mathcal{R}?

13

14

15

16

17

答案：A

知识点：面积距离公式

难度评级：1660

小提示：

\mathcal{R}

是到该线段距离不超过

1

的所有点

\mathcal{R}

is the set of all points within distance

1

of the segment

大提示：

线段长度为

5

，所以

\mathcal{R}

是一个

5\times2

的矩形加上两个半圆

The segment has length

5,

so

\mathcal{R}

is a

5\times2

rectangle capped by two half-disks

解答：

给线段上的每个点加上半径为

1

的圆盘，会扫出所有到该线段距离不超过

1

的点。从

3

到

4i

的线段长度为

\sqrt{3^2+4^2}=5

。

这个“体育场”形状由一个

5\times2

的矩形和两个半径为

1

的半圆组成，面积为

5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14\text{。}

最接近的整数是

13

。

因此，正确答案是 A。

Adding a disk of radius

1

to every point of the segment sweeps out all points within distance

1

of it. The segment from

3

to

4i

has length

\sqrt{3^2+4^2}=5.

This “stadium” is a

5\times2

rectangle plus two half-disks of radius

1,

with area

5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.

The closest integer is

13.

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 13 题

答案：A

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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