2022 AMC 12A 第 10 题

Question

有多少种方法可以把

1

到

14

的数分成

7

对，使得每一对中较大的数至少是较小的数的

2

倍？

What is the number of ways the numbers from

1

to

14

can be split into

7

pairs such that for each pair, the greater number is at least

2

times the smaller number?

108

120

126

132

144

答案：E

知识点：有限制的排列乘法原理

难度评级：1570

小提示：

数

m

只有在

2m\le14

时才可能是一对中较小的数

A number

m

can be the smaller of its pair only if

2m\le14

大提示：

所以

1

到

7

是较小元素，

8

到

14

是较大元素；从限制最紧的较小数开始分配

So

1

–

7

are the smaller elements and

8

–

14

the larger; assign greedily from the tightest smaller number

解答：

任何大于或等于

8

的数都不能作为较小元素（它的两倍超过

14

），所以

8

到

14

都是较大元素，

1

到

7

都是较小元素。

将每个较小数

s

配到一个较大数

g\ge2s

。从限制最强的开始：

s=7

强制

g=14

（

1

种）；然后

s=6

可配剩下的

\{12,13\}

（

2

种）；

s=5

有

3

种；

s=4

有

4

种；

s=3

有

3

种；

s=2

有

2

种；

s=1

有

1

种。

匹配数为

1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144

。

因此，正确答案是 E。

Any number

8

or larger cannot be a smaller element (its double exceeds

14

), so

8

–

14

are all larger elements and

1

–

7

are all smaller elements.

Match each smaller

s

to a larger

g\ge2s.

Processing from the most restrictive:

s=7

forces

g=14

(

1

way); then

s=6

has

\{12,13\}

left (

2

);

s=5

has

3;

s=4

has

4;

s=3

has

3;

s=2

has

2;

s=1

has

1.

The number of matchings is

1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A 第 10 题

答案：E

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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