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2021 AMC 12B Fall 第 13 题

先试着解答 2021 AMC 12B Fall 第 13 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12B Fall 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

设 c=2π11c = \dfrac{2\pi}{11}。求下式的值： sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c⋅sin⁡12c⋅sin⁡15csin⁡c⋅sin⁡2c⋅sin⁡3c⋅sin⁡4c⋅sin⁡5c?\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?

Let c=2π11.c = \dfrac{2\pi}{11}. What is the value of sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c⋅sin⁡12c⋅sin⁡15csin⁡c⋅sin⁡2c⋅sin⁡3c⋅sin⁡4c⋅sin⁡5c?\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?

−1-1

−115-\dfrac{\sqrt{11}}{5}

115\dfrac{\sqrt{11}}{5}

1011\dfrac{10}{11}

11

答案：E
知识点：三角恒等式对称性
难度评级：1900
解答：

每个角都可写成 kc=2πk11kc = \dfrac{2\pi k}{11}。按 2π2\pi 取模后，sin⁡12c=sin⁡c\sin 12c = \sin c，且 sin⁡15c=sin⁡4c\sin 15c = \sin 4c。

因此分子为 sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c ⋅sin⁡c⋅sin⁡4c\cdot \sin c \cdot \sin 4c。约去公共因子 sin⁡c\sin c、sin⁡3c\sin 3c、sin⁡4c\sin 4c，剩下 sin⁡6c⋅sin⁡9csin⁡2c⋅sin⁡5c\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}。

又有 sin⁡9c=sin⁡(2π−2c)=−sin⁡2c\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c，并且 sin⁡6c=sin⁡(2π−5c)=−sin⁡5c\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c，所以比值为 (−sin⁡5c)(−sin⁡2c)sin⁡2c⋅sin⁡5c=1\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1。

所以正确答案是 E。

Write each angle as kc=2πk11.kc = \dfrac{2\pi k}{11}. Reducing modulo 2π,2\pi, sin⁡12c=sin⁡c\sin 12c = \sin c and sin⁡15c=sin⁡4c.\sin 15c = \sin 4c.

So the numerator is sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c ⋅sin⁡c⋅sin⁡4c.\cdot \sin c \cdot \sin 4c. Cancelling the common factors sin⁡c,\sin c, sin⁡3c,\sin 3c, sin⁡4c\sin 4c leaves sin⁡6c⋅sin⁡9csin⁡2c⋅sin⁡5c.\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.

Now sin⁡9c=sin⁡(2π−2c)=−sin⁡2c\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c and sin⁡6c=sin⁡(2π−5c)=−sin⁡5c,\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c, so the ratio equals (−sin⁡5c)(−sin⁡2c)sin⁡2c⋅sin⁡5c=1.\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.

Thus, the correct answer is E.

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