2021 AMC 12B Spring 第 7 题

Question

设

N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270

。

N

的奇因数之和与

N

的偶因数之和的比是多少？

Let

N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.

What is the ratio of the sum of the odd divisors of

N

to the sum of the even divisors of

N?

1:16

1:15

1:14

1:8

1:3

答案：C

知识点：质因数分解因数之和

难度评级：1370

小提示：

找出整除

N

的最高

2

次幂

Find the exact power of

2

dividing

N

大提示：

若

M

是

N

的奇数部分，

2^k

是偶数部分，则每个偶因数都是某个奇因数乘以

2^j

。

If

M

is the odd part of

N

and

2^k

the even part, every even divisor is

2^j

times an odd divisor

解答：

分解质因数，

34=2\cdot 17

，

63=3^2\cdot 7

，且

270=2\cdot 3^3\cdot 5

，所以

N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2

。

令

M

为奇数部分

3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2

。所有因数之和为

(1+2+4+8)\,\sigma(M)

=15\,\sigma(M)

。

奇因数之和为

\sigma(M)

，所以偶因数之和为

15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M)

。

所求比为

\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14

。

所以正确答案是 C。

Factoring,

34=2\cdot 17,

63=3^2\cdot 7,

and

270=2\cdot 3^3\cdot 5,

so

N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

Let

M

be the odd part

3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

The sum of all divisors is

(1+2+4+8)\,\sigma(M)

=15\,\sigma(M).

The odd divisors sum to

\sigma(M),

so the even divisors sum to

15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).

The ratio is

\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Spring 第 7 题

答案：C

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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