Question

图形由 $11$ 条线段构成，每条线段长度都是 $2$ 。五边形 $ABCDE$ 的面积可写成 $\sqrt m+\sqrt n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。 $m+n$ 是多少？

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m+n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：D

知识点：circle geometry 坐标几何鞋带公式

难度评级：1890

解答：

右侧内部点到 $A,B,C,$ 的距离都是 $2$ ，所以这三点位于一个半径为 $2.$ 的圆上。弦 $AB$ 和 $BC$ 的长度也都是 $2,$ 所以它们各自在圆心处所对的角为 $60^\circ$ 。因此 $AC=2\sqrt3.$ 另一半同样是它的镜像。

取 $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ 和 $A=(0,\sqrt{11});$ 则 $AC=AD=2\sqrt3.$ 以 $A$ 和 $C$ 为圆心的两个半径为 $2$ 的圆的另一个交点是 $B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),$ 而 $E$ 是它关于 $y$ 轴的反射。

对 $A,B,C,D,E$ 使用鞋带公式，得到 $[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,$ 等于 $\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

所以 $m+n=11+12=23.$

因此，正确答案是 D。

The right interior point is distance $2$ from $A,B,C,$ so these three points lie on a circle of radius $2.$ Chords $AB$ and $BC$ also have length $2,$ so each subtends $60^\circ$ at the center. Thus $AC=2\sqrt3.$ Similarly, the other half is its mirror image.

Put $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ and $A=(0,\sqrt{11});$ then $AC=AD=2\sqrt3.$ The other intersection of the radius- $2$ circles centered at $A$ and $C$ is $B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),$ and $E$ is its reflection across the $y$ -axis.

Applying the shoelace formula to $A,B,C,D,E$ gives $[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,$ which equals $\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

So $m+n=11+12=23.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 15 题

答案：D

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 15 题