2020 AMC 12B 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

有多少个整数有序对

(x, y)

满足方程

x^{2020} + y^2 = 2y\text{？}

How many ordered pairs of integers

(x, y)

satisfy the equation

x^{2020} + y^2 = 2y?

1

2

3

4

无限多个

infinitely many

答案：D

知识点：配方法丢番图方程极限情形界定

难度评级：1410

小提示：

对

y

配方，得

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1

。

Complete the square in

y:

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1

大提示：

因为

x^{2020} \ge 0

且

(y - 1)^2 \ge 0

，只有

x \in \{-1, 0, 1\}

才可能满足条件。

Since

x^{2020} \ge 0

and

(y - 1)^2 \ge 0,

only

x \in \{-1, 0, 1\}

can work

解答：

配方得

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1

。两项都非负，所以

x^{2020} \le 1

，从而

x \in \{-1, 0, 1\}

。

若

x = 0

，则

(y - 1)^2 = 1

，所以

y = 0

或

y = 2

。若

x = \pm 1

，则

x^{2020} = 1

，从而

(y - 1)^2 = 0

，故

y = 1

。所有解为

(0, 0), (0, 2), (1, 1)

和

(-1, 1)

，一共四个。

所以正确答案是 D。

Completing the square gives

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.

Both terms are nonnegative, so

x^{2020} \le 1,

forcing

x \in \{-1, 0, 1\}.

If

x = 0,

then

(y - 1)^2 = 1,

giving

y = 0

or

y = 2.

If

x = \pm 1,

then

x^{2020} = 1,

so

(y - 1)^2 = 0

and

y = 1.

The solutions are

(0, 0), (0, 2), (1, 1),

and

(-1, 1)

— four in all.

Thus, the correct answer is D.

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