2020 AMC 12B 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

对所有整数

n \ge 9

，

\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

的值总是下列哪一种？

For all integers

n \ge 9,

the value of

\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

is always which of the following?

4

的倍数

a multiple of

4

10

的倍数

a multiple of

10

质数

a prime number

完全平方数

a perfect square

完全立方数

a perfect cube

答案：D

知识点：阶乘因式分解完全平方数

难度评级：1270

小提示：

从分子中提出

(n + 1)!

。

Factor

(n + 1)!

out of the numerator

大提示：

(n + 2)! - (n + 1)!

= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]

= (n + 1)!\,(n + 1)

。

(n + 2)! - (n + 1)!

= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]

= (n + 1)!\,(n + 1)

解答：

从分子中提出

(n + 1)!

：

\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1) \end{gathered}\text{。}

除以

n!

后得

\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}

= (n + 1)(n + 1)

= (n + 1)^2

，它总是完全平方数。

所以正确答案是 D。

Factor

(n + 1)!

from the numerator:

\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}

Dividing by

n!

leaves

\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}

= (n + 1)(n + 1)

= (n + 1)^2,

which is always a perfect square.

Thus, the correct answer is D.

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