2020 AMC 12B 第 10 题

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10.

在单位正方形

ABCD

中，内切圆

\omega

与

\overline{CD}

相交于

M

，

\overline{AM}

与

\omega

还相交于不同于

M

的点

P

。

AP

等于多少？

In unit square

ABCD,

the inscribed circle

\omega

intersects

\overline{CD}

at

M,

and

\overline{AM}

intersects

\omega

at a point

P

different from

M.

What is

AP?

\dfrac{\sqrt{5}}{12}

\dfrac{\sqrt{5}}{10}

\dfrac{\sqrt{5}}{9}

\dfrac{\sqrt{5}}{8}

\dfrac{2\sqrt{5}}{15}

答案：B

知识点：坐标几何圆圆幂

难度评级：1560

小提示：

取

A = (0, 0)

则圆心为

\left(\tfrac12, \tfrac12\right)

，且

M = \left(\tfrac12, 1\right)

。

Place

A = (0, 0),

so the circle has center

\left(\tfrac12, \tfrac12\right)

and

M = \left(\tfrac12, 1\right)

大提示：

把直线

AM

代入圆的方程；两个根分别对应

M

和

P

。

Substitute the line

AM

into the circle’s equation; the two roots give

M

and

P

解答：

令

A = (0, 0)

、

B = (1, 0)

、

C = (1, 1)

、

D = (0, 1)

。内切圆圆心为

\left(\tfrac12, \tfrac12\right)

，半径为

\tfrac12

，并在

M = \left(\tfrac12, 1\right)

处与

\overline{CD}

相切。

直线

AM

为

y = 2x

。代入

\left(x - \tfrac12\right)^2 + \left(y - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14

，得到

20x^2 - 12x + 1 = 0

，其根为

x = \tfrac12

（点

M

）和

x = \tfrac{1}{10}

（点

P

）。

因此

P = \left(\tfrac{1}{10}, \tfrac15\right)

，且

AP = \sqrt{\left(\tfrac{1}{10}\right)^2 + \left(\tfrac15\right)^2} = \frac{\sqrt5}{10}

。

所以正确答案是 B。

Let

A = (0, 0),

B = (1, 0),

C = (1, 1),

D = (0, 1).

The inscribed circle has center

\left(\tfrac12, \tfrac12\right)

and radius

\tfrac12,

touching

\overline{CD}

at

M = \left(\tfrac12, 1\right).

Line

AM

is

y = 2x.

Substituting into

\left(x - \tfrac12\right)^2 + \left(y - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14

gives

20x^2 - 12x + 1 = 0,

with roots

x = \tfrac12

(point

M

) and

x = \tfrac{1}{10}

(point

P

).

So

P = \left(\tfrac{1}{10}, \tfrac15\right)

and

AP = \sqrt{\left(\tfrac{1}{10}\right)^2 + \left(\tfrac15\right)^2} = \frac{\sqrt5}{10}.

Thus, the correct answer is B.

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