Question

在单位正方形 $ABCD$ 中，内切圆 $\omega$ 与 $\overline{CD}$ 相交于 $M$ ， $\overline{AM}$ 与 $\omega$ 还相交于不同于 $M$ 的点 $P$ 。求 $AP$ ？

In unit square $ABCD,$ the inscribed circle $\omega$ intersects $\overline{CD}$ at $M,$ and $\overline{AM}$ intersects $\omega$ at a point $P$ different from $M.$ What is $AP?$

$\dfrac{\sqrt{5}}{12}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{10}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{8}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{15}$

答案：B

知识点：坐标几何圆圆幂

难度评级：1560

解答：

令 $A = (0, 0)$ 、 $B = (1, 0)$ 、 $C = (1, 1)$ 、 $D = (0, 1)$ 。内切圆圆心为 $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ ，半径为 $\tfrac12$ ，并在 $M = \left(\tfrac12, 1\right)$ 处与 $\overline{CD}$ 相切。

直线 $AM$ 为 $y = 2x$ 。代入 $\left(x - \tfrac12\right)^2 + \left(y - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14$ ，得到 $20x^2 - 12x + 1 = 0$ ，其根为 $x = \tfrac12$ （点 $M$ ）和 $x = \tfrac{1}{10}$ （点 $P$ ）。

因此 $P = \left(\tfrac{1}{10}, \tfrac15\right)$ ，且 $AP = \sqrt{\left(\tfrac{1}{10}\right)^2 + \left(\tfrac15\right)^2} = \frac{\sqrt5}{10}$ 。

所以正确答案是 B。

Let $A = (0, 0),$ $B = (1, 0),$ $C = (1, 1),$ $D = (0, 1).$ The inscribed circle has center $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ and radius $\tfrac12,$ touching $\overline{CD}$ at $M = \left(\tfrac12, 1\right).$

Line $AM$ is $y = 2x.$ Substituting into $\left(x - \tfrac12\right)^2 + \left(y - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14$ gives $20x^2 - 12x + 1 = 0,$ with roots $x = \tfrac12$ (point $M$ ) and $x = \tfrac{1}{10}$ (point $P$ ).

So $P = \left(\tfrac{1}{10}, \tfrac15\right)$ and $AP = \sqrt{\left(\tfrac{1}{10}\right)^2 + \left(\tfrac15\right)^2} = \frac{\sqrt5}{10}.$

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 12B 第 10 题

答案：B

难度评级：1560

解答：

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