2019 AMC 12B 第 6 题

Question

在一个给定平面中，点

A

和

B

相距

10

个单位。平面中有多少个点

C

，使得

\triangle ABC

的周长为

50

个单位，且

\triangle ABC

的面积为

100

平方单位？

In a given plane, points

A

and

B

are

10

units apart. How many points

C

are there in the plane such that the perimeter of

\triangle ABC

is

50

units and the area of

\triangle ABC

is

100

square units?

0

2

4

8

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：椭圆极限情形界定

难度评级：1420

小提示：

固定

AB

后，周长条件使

C

在以

A

和

B

为焦点的椭圆上

With

AB

fixed, the perimeter condition puts

C

on an ellipse with foci

A

and

B

大提示：

底边

10

面积

100

需要高

20

；与椭圆的最大高度比较

Area

100

with base

10

needs height

20;

compare that to the ellipse’s greatest height

解答：

周长条件给出

CA+CB=50-10=40

，所以

C

在以

A,B

为焦点、长轴

2a=40

的椭圆上。因此

a=20

且

c=5

，所以半短轴为

b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36\text{。}

若以

AB=10

为底且面积为

100

，则从

C

到底边的高必须为

\dfrac{2\cdot100}{10}=20

。但椭圆上的最大可能高度是

b\approx19.36\lt20

，所以不存在这样的

C

。

所以正确答案是 A。

The perimeter condition gives

CA+CB=50-10=40,

so

C

lies on an ellipse with foci

A,B

and major axis

2a=40.

Thus

a=20

and

c=5,

so the semi-minor axis is

b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.

For area

100

with base

AB=10,

the height from

C

must be

\dfrac{2\cdot100}{10}=20.

But the greatest possible height on the ellipse is

b\approx19.36\lt20,

so no such

C

exists.

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 6 题

答案：A

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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