2019 AMC 12A 第 13 题

Question

有多少种方法给整数

2

，

3

，

\ldots

，

9

分别涂上红、绿、蓝三种颜色之一，使得每个数的颜色都与它的每个真因数的颜色不同？

How many ways are there to paint each of the integers

2,

3,

\ldots,

9

either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

144

216

256

384

432

答案：E

知识点：图论整除性分类讨论

难度评级：1630

小提示：

数

5

和

7

不受限制；处理链

2, 4, 8

以及

6, 9

上的限制

Numbers

5

and

7

are unconstrained; handle the chain

2, 4, 8

and the constraints on

6, 9

大提示：

6

的颜色必须避开

2

和

3

的颜色，所以计数取决于

2

和

3

是否同色

The color of

6

must avoid both

2

and

3,

so count depends on whether

2

and

3

share a color

解答：

质数

5

和

7

在这里没有真因数，因此各有

3

种选择。

沿着链

2 \to 4 \to 8

有

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

种涂法。数

9

必须与

3

不同色，所以一旦

3

的颜色确定，它就有

2

种选择。

数

6

必须与

2

和

3

都不同色。对

2

和

3

的颜色求和（同色有

3

对，异色有

6

对），

4, 8, 9, 6

合起来的因子为

2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48

。

再乘上

5

和

7

的涂法数

9

，得到

48 \cdot 9 = 432

。

所以正确答案是 E。

The primes

5

and

7

have no proper divisors here, giving

3

choices each.

Along the chain

2 \to 4 \to 8,

there are

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

colorings. Number

9

must differ from

3,

giving

2

choices once

3

is set.

Number

6

must differ from both

2

and

3.

Summing over the colors of

2

and

3

(equal in

3

pairs, unequal in

6

pairs), the combined factor for

4, 8, 9, 6

totals

2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.

Multiplying by the

9

ways for

5

and

7

gives

48 \cdot 9 = 432.

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 13 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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