2019 AMC 12A 第 12 题

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12.

正实数

x \ne 1

和

y \ne 1

满足

\log_2 x = \log_y 16

且

xy = 64

。

\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2

是多少？

Positive real numbers

x \ne 1

and

y \ne 1

satisfy

\log_2 x = \log_y 16

and

xy = 64.

What is

\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?

\dfrac{25}{2}

20

\dfrac{45}{2}

25

32

答案：B

知识点：对数方程组

难度评级：1560

小提示：

令

a = \log_2 x

且

b = \log_2 y

；则

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

。

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y;

then

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

大提示：

可得

ab = 4

和

a + b = 6

；注意

\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2

You get

ab = 4

and

a + b = 6;

note

\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2

解答：

令

a = \log_2 x

且

b = \log_2 y

，则

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

，所以

a = \dfrac{4}{b}

，从而

ab = 4

。

因为

xy = 64

，所以

a + b = 6

。

因此

\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y.

Then

\log_y 16 = \dfrac{4}{b},

so

a = \dfrac{4}{b},

giving

ab = 4.

Since

xy = 64,

we have

a + b = 6.

Therefore

\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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