2018 AMC 12A 第 7 题

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7.

对多少个整数

n

（不一定为正），

4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n

的值是整数？

For how many (not necessarily positive) integer values of

n

is the value of

4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n

an integer?

3

4

6

8

9

答案：E

知识点：质因数分解指数

难度评级：1380

小提示：

写成

4000 = 2^5 \cdot 5^3

，所以表达式为

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}

。

Write

4000 = 2^5 \cdot 5^3,

so the expression is

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}

大提示：

它恰好在两个指数

5 + n

和

3 - n

都非负时是整数

This is an integer exactly when both exponents

5 + n

and

3 - n

are nonnegative

解答：

因为

4000 = 2^5 \cdot 5^3

，原式等于

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}

。它是整数当且仅当

5 + n \ge 0

且

3 - n \ge 0

，也就是

-5 \le n \le 3

。这样的整数有

3 - (-5) + 1 = 9

个。

所以正确答案是 E。

Since

4000 = 2^5 \cdot 5^3,

the expression equals

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.

This is an integer exactly when both

5 + n \ge 0

and

3 - n \ge 0,

that is,

-5 \le n \le 3.

There are

3 - (-5) + 1 = 9

such integers.

Thus, the correct answer is E.

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