2016 AMC 12B 第 13 题

Question

Alice 和 Bob 相距

10

英里。某天，Alice 从家中向正北方看到一架飞机。与此同时，Bob 从家中向正西方看到同一架飞机。Alice 看到的仰角为

30^\circ

，Bob 看到的仰角为

60^\circ

。下列哪一项最接近飞机的高度（英里）？

Alice and Bob live

10

miles apart. One day Alice looks due north from her house and sees an airplane. At the same time Bob looks due west from his house and sees the same airplane. The angle of elevation of the airplane is

30^\circ

from Alice’s position and

60^\circ

from Bob’s position. Which of the following is closest to the airplane’s altitude, in miles?

3.5

4

4.5

5

5.5

答案：E

知识点：特殊直角三角形勾股定理立体几何

难度评级：1630

小提示：

设飞机在地面点

D

正上方，高度为

h

。三角形

ACD

和

BCD

是

30

-

60

-

90

直角三角形。

Let the plane be above point

D

on the ground at height

h.

Triangles

ACD

and

BCD

are

30

-

60

-

90

right triangles

大提示：

AD=\sqrt3\,h

，

BD=\dfrac{h}{\sqrt3}

；再用

AD^2+BD^2=10^2

。

AD=\sqrt3\,h

and

BD=\dfrac{h}{\sqrt3};

then

AD^2+BD^2=10^2

解答：

设飞机位于点

C

，其正下方的地面点为

D

，高度为

h

。三角形

ACD

和

BCD

都是

30

-

60

-

90

直角三角形，所以

AD=\sqrt3\,h

，

BD=\dfrac{h}{\sqrt3}

。Alice 向北看而 Bob 向西看，因此

\angle ADB=90^\circ

，从而

AD^2+BD^2=AB^2=100

。于是

3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100

，解得

h=\sqrt{30}\approx5.48

，最接近

5.5

。

所以正确答案是 E。

Let the airplane be at

C,

directly above point

D

on the ground at altitude

h.

Triangles

ACD

and

BCD

are

30

-

60

-

90

right triangles, so

AD=\sqrt3\,h

and

BD=\dfrac{h}{\sqrt3}.

Since Alice looks north and Bob looks west,

\angle ADB=90^\circ,

so

AD^2+BD^2=AB^2=100.

Then

3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100,

giving

h=\sqrt{30}\approx5.48,

closest to

5.5.

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12B 第 13 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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