Question

设 $N$ 是 $5$ 的正倍数。一个红球和 $N$ 个绿球随机排成一行。令 $P(N)$ 为至少 $\dfrac{3}{5}$ 的绿球在红球同一侧的概率。已知 $P(5)=1$ ，并且当 $N$ 变大时 $P(N)$ 趋近于 $\dfrac{4}{5}$ 。使 $P(N)\lt\dfrac{321}{400}$ 的最小 $N$ 的各位数字之和是多少？

Let $N$ be a positive multiple of $5.$ One red ball and $N$ green balls are arranged in a line in random order. Let $P(N)$ be the probability that at least $\dfrac{3}{5}$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that $P(5)=1$ and that $P(N)$ approaches $\dfrac{4}{5}$ as $N$ grows large. What is the sum of the digits of the least value of $N$ such that $P(N)\lt\dfrac{321}{400}?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

答案：A

知识点：基本概率不等式

难度评级：1690

解答：

写 $N=5k$ 。从一端开始，将红球的可能位置编号为 $0,1,\ldots,5k$ ，共有 $5k+1$ 个等可能位置。

红球两侧的绿球都少于 $\dfrac{3}{5}$ 的情形，恰好对应红球位于 $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1$ 中的某个位置，共有 $k-1$ 个。因此 $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

解不等式 $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ ，得到 $400(4k+2)\lt 321(5k+1)$ ，即 $1600k+800\lt 1605k+321$ ，所以 $5k\gt 479$ ，也就是 $k\gt 95.8$ 。因此 $k=96$ 、 $N=480$ ，其各位数字之和为 $4+8+0=12$ 。

所以正确答案是 A。

Write $N=5k.$ Number the positions of the red ball $0,1,\ldots,5k$ from one end; there are $5k+1$ equally likely positions.

Fewer than $\dfrac{3}{5}$ of the green balls lie on each side exactly when the red ball is in one of the positions $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ which is $k-1$ positions. Hence $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Solving $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ gives $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ so $1600k+800\lt 1605k+321$ and $5k\gt 479,$ meaning $k\gt 95.8.$ Thus $k=96$ and $N=480,$ whose digit sum is $4+8+0=12.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12A 第 13 题

答案：A

难度评级：1690

解答：

其他年份的第 13 题