Question

选择实数 $a$ 和 $b$ ，满足 $1 \lt a \lt b$ ，并且边长为 $1, a$ 和 $b$ 的三角形以及边长为 $\tfrac1b, \tfrac1a$ 和 $1$ 的三角形都不可能有正面积。 $b$ 的最小可能值是多少？

Real numbers $a$ and $b$ are chosen with $1 \lt a \lt b$ such that no triangle with positive area has side lengths $1, a,$ and $b$ or $\tfrac1b, \tfrac1a,$ and $1.$ What is the smallest possible value of $b?$

$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{3+\sqrt{6}}{2}$

$3$

答案：C

知识点：三角不等式二次方程极限情形界定

难度评级：1870

解答：

因为 $b$ 是 $1, a, b$ 中最大的边，不存在这样的三角形当且仅当 $b \ge a+1$ 。因为 $1$ 是 $\tfrac1b, \tfrac1a, 1$ 中最大的边，不存在这样的三角形当且仅当 $1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b$ ，即 $a \le \tfrac{b}{b-1}$ 。

当 $a+1 = b$ 与 $a = \tfrac{b}{b-1}$ 相交时，同时满足两个条件的 $b$ 最小，得到 $b - 1 = \tfrac{b}{b-1}$ ，即 $b^2 - 3b + 1 = 0$ 。

大于 $1$ 的根为 $b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}$ 。

所以正确答案是 C。

Since $b$ is the largest of $1, a, b,$ no such triangle exists exactly when $b \ge a+1.$ Since $1$ is the largest of $\tfrac1b, \tfrac1a, 1,$ no such triangle exists exactly when $1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,$ that is $a \le \tfrac{b}{b-1}.$

Both conditions hold with $b$ smallest when $a+1 = b$ and $a = \tfrac{b}{b-1}$ meet, giving $b - 1 = \tfrac{b}{b-1},$ or $b^2 - 3b + 1 = 0.$

The root larger than $1$ is $b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1870

解答：

其他年份的第 13 题