2014 AMC 12B 第 13 题

Question

选择实数

a

和

b

，满足

1 \lt a \lt b

，并且边长为

1

，

a

和

b

的三角形以及边长为

\tfrac1b

，

\tfrac1a

和

1

的三角形都不可能有正面积。

b

的最小可能值是多少？

Real numbers

a

and

b

are chosen with

1 \lt a \lt b

such that no triangle with positive area has side lengths

1,

a,

and

b

or

\tfrac1b,

\tfrac1a,

and

1.

What is the smallest possible value of

b?

\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}

\dfrac{5}{2}

\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

\dfrac{3+\sqrt{6}}{2}

3

答案：C

知识点：三角不等式二次方程极限情形界定

难度评级：1870

小提示：

因为

1 \lt a \lt b

，不存在边长为

1, a, b

的三角形意味着

b \ge a+1

。

With

1 \lt a \lt b,

no triangle

1, a, b

means

b \ge a+1

大提示：

不存在边长为

\tfrac1b, \tfrac1a, 1

的三角形意味着

1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b

，即

a \le \tfrac{b}{b-1}

。

No triangle

\tfrac1b, \tfrac1a, 1

means

1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,

i.e.

a \le \tfrac{b}{b-1}

解答：

因为

b

是

1, a, b

中最大的边，不存在这样的三角形当且仅当

b \ge a+1

。因为

1

是

\tfrac1b, \tfrac1a, 1

中最大的边，不存在这样的三角形当且仅当

1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b

，即

a \le \tfrac{b}{b-1}

。

当

a+1 = b

与

a = \tfrac{b}{b-1}

相交时，同时满足两个条件的

b

最小，得到

b - 1 = \tfrac{b}{b-1}

，即

b^2 - 3b + 1 = 0

。

大于

1

的根为

b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}

。

所以正确答案是 C。

Since

b

is the largest of

1, a, b,

no such triangle exists exactly when

b \ge a+1.

Since

1

is the largest of

\tfrac1b, \tfrac1a, 1,

no such triangle exists exactly when

1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,

that is

a \le \tfrac{b}{b-1}.

Both conditions hold with

b

smallest when

a+1 = b

and

a = \tfrac{b}{b-1}

meet, giving

b - 1 = \tfrac{b}{b-1},

or

b^2 - 3b + 1 = 0.

The root larger than

1

is

b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题