2011 AMC 12B 第 10 题

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10.

长方形

ABCD

中，

AB=6

，

BC=3

。点

M

在边

AB

上，且

\angle AMD=\angle CMD

。

\angle AMD

的度数是多少？

Rectangle

ABCD

has

AB=6

and

BC=3.

Point

M

is chosen on side

AB

so that

\angle AMD=\angle CMD.

What is the degree measure of

\angle AMD?

15

30

45

60

75

答案：E

知识点：平行线等腰三角形特殊直角三角形

难度评级：1450

小提示：

因为

AB\parallel CD

，所以角

\angle CDM

等于

\angle AMD

。

Since

AB\parallel CD,

the angle

\angle CDM

equals

\angle AMD

大提示：

这使

\triangle CMD

成为等腰三角形，且

CM=CD=6

，于是

\triangle MBC

是

30

-

60

-

90

三角形。

That makes

\triangle CMD

isosceles with

CM=CD=6,

so

\triangle MBC

is

30

-

60

-

90

解答：

因为

AB\parallel CD

，所以

\angle CDM=\angle AMD

。结合

\angle AMD=\angle CMD

，可得

\angle CDM=\angle CMD

，所以

\triangle CMD

是等腰三角形，且

CM=CD=6

。

因此

\triangle MBC

在

B

处为直角，斜边

CM=6

，直角边

BC=3

，所以它是

30

-

60

-

90^\circ

三角形，且

\angle BMC=30^\circ

。

最后

\angle AMD+\angle CMD

+\angle BMC=180^\circ

，所以

2\angle AMD+30^\circ=180^\circ

，得

\angle AMD=75^\circ

。

所以正确答案是 E。

Because

AB\parallel CD,

we have

\angle CDM=\angle AMD.

Combined with

\angle AMD=\angle CMD,

this gives

\angle CDM=\angle CMD,

so

\triangle CMD

is isosceles with

CM=CD=6.

Then

\triangle MBC

is right-angled at

B

with hypotenuse

CM=6

and leg

BC=3,

so it is a

30

-

60

-

90^\circ

triangle with

\angle BMC=30^\circ.

Finally,

\angle AMD+\angle CMD

+\angle BMC=180^\circ,

so

2\angle AMD+30^\circ=180^\circ,

giving

\angle AMD=75^\circ.

Thus, the correct answer is E.

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