Question

有多少个有序三元组 $(x, y, z)$ 满足：三个分量都是小于 $20$ 的非负整数，并且集合 $\{i^x, (1+i)^y, z\}$ 中恰好有两个不同的元素？其中 $i=\sqrt{-1}$ 。

For how many ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative integers less than $20$ are there exactly two distinct elements in the set $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ where $i=\sqrt{-1}?$

$149$

$205$

$215$

$225$

$235$

答案：D

知识点：复数分类讨论基本计数

难度评级：2070

解答：

我们需要 $i^x$ ， $(1+i)^y$ ， $z$ 中恰好有两个相等，第三个不同。三种情况对应三种可能的相等配对。

情况 $i^x=(1+i)^y$ ： 因为 $|i^x|=1$ ，而当 $y\ge1$ 时 $|(1+i)^y|=2^{y/2}\gt1$ ，所以必须有 $y=0$ 。此时 $(1+i)^0=1$ ，且 $i^x=1$ ，即 $x\in\{0,4,8,12,16\}$ 。此时 $z$ 可以取除 $1$ 以外的任意一个值，共有 $19$ 种选择，得到 $5\cdot19=95$ 个三元组。

情况 $i^x=z$ ： $i^x$ 中唯一的非负整数值是 $1$ （当 $x$ 是 $4$ 的倍数时），所以 $z=1$ ，且 $(1+i)^y\ne1$ ，即 $y\ge1$ 。这给出 $5\cdot19=95$ 个三元组。

情况 $(1+i)^y=z$ ： 因为 $(1+i)^2=2i$ ，所以 $(1+i)^y$ 只有在 $y=0$ （值为 $1$ ）或 $y=8$ （值为 $16$ ）时才是小于 $20$ 的非负整数。如果 $y=0,\ z=1$ ，则需要 $i^x\ne1$ ，所以 $x$ 不是 $4$ 的倍数（ $15$ 个值）。如果 $y=8,\ z=16$ ，则 $i^x$ 不可能等于 $16$ ，所以 $x$ 可任取（ $20$ 个值）。这一情况给出 $15+20=35$ 个三元组。

总数为 $95+95+35=225$ 。

因此，正确答案是 D。

We need exactly two of $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since $|i^x|=1$ but $|(1+i)^y|=2^{y/2}\gt1$ for $y\ge1,$ we need $y=0,$ so $(1+i)^0=1$ and $i^x=1,$ i.e. $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Then $z$ is any of the $19$ values other than $1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of $i^x$ is $1$ (with $x$ a multiple of $4$ ), so $z=1$ and $(1+i)^y\ne1,$ meaning $y\ge1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since $(1+i)^2=2i,$ the power $(1+i)^y$ is a nonnegative integer below $20$ only for $y=0$ (value $1$ ) or $y=8$ (value $16$ ). If $y=0,\ z=1,$ we need $i^x\ne1,$ so $x$ is not a multiple of $4$ ( $15$ values). If $y=8,\ z=16,$ then $i^x$ is never $16,$ so $x$ is free ( $20$ values). This gives $15+20=35$ triples.

Altogether $95+95+35=225.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B 第 15 题

答案：D

难度评级：2070

解答：

其他年份的第 15 题